Auf einem Quader mit der Grundfläche in der x1 - x2 Ebene ist eine Pyramide mit folgenden Eckpunkten aufgesetzt : A (3Ι-3Ι7) , B (3Ι3Ι7) , C (-3Ι3Ι7) , D (-3Ι-3Ι7) und S (0Ι0Ι13) , (siehe Abbildung)
a) Die Ebene E1 verläuft durch die Mitte der Pyramidenkanten SB bzw. SD und dem Punkt C. Die Pyramidenkante AS liegt auf einer Geraden g.
(1) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene E1 in Parameterform.
(2) Geben Sie eine Gleichung für die Gerade g an.
(3) Zeigen Sie, dass die Gerade g die Ebene E
1 rechtwinklig schneidet, Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E
1 in Koordinatenform.
Mitte von SB ist 1/2 * (S+B) = (1,5 ; 1,5 ; 10) und bei SD (-1,5 , -1,5 ; 10) mit C(-3 / 3 / 7)
gibt das die Ebenengleichung (z.B.) in der Form
x = ( 1,5 ; 1,5 ; 10 ) + s * ( 3 ; 3; 0 ) + t * ( 4,5 ; -1,5 ; 3 )
g : x = ( 0 ; 0 ; 13 ) + r*(-3 ; 3 ; 6)
Schnitt: Gleichsetzen und das LGS lösen gibt
s= - 2 / 3 t=1/3 r= - 1/3 einsetzen in E1 bzw. g gibt die Koordinaten des SP.
senkrecht: Skalarprodukt des RV von g mit beiden RV'en von E1 ist 0; denn
(-3 ; 3 ; 6 ) * ( 3 ; 3; 0 ) = -9 +9 + 0 = 0
(-3 ; 3 ; 6 ) * ( 4,5 ; -1,5 ; 3 ) = -13,5 - 4,5 + 18 = 0
Also ist (-3 ; 3 ; 6 )ein möglicher Normalenvektor für E1 (-1 ; 1 ; 2) z.B. auch möglich
und z.B. c in E1 gibt wegen -1*0 + 1*0 +2*13 = 26
die Koordinatengleichung -x1 + x2 + 2x3 = 26
bekommst du auch, wenn du bei der Parameterform x =( x1 ; x2 ;x3 ) einsetzt
und s und t eliminierst.
