Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig differenzierbar und \( E:=\left\{x \in \mathbb{R} ; f^{\prime}(x)=0\right\} \) die Menge der Nullstellen der Ableitung. Ziel dieser Aufgabe ist der Beweis von c). Dazu ist es hilfreich, die Mengen
\( E_{n}^{e}:=\left\{x \in(-n, n) ;\left|f^{\prime}(x)\right|<\frac{\varepsilon}{n 2^{n}}\right\} \quad(\text { für } \varepsilon>0 \text { und } n \in \mathbb{N}) \)
Zu betrachten. Es darf ohne Beweis vorausgesetzt werden (wer möchte, kann es natürlich trotzdem beweisen), dass jede der Mengen \( E_{n}^{\varepsilon} \) als Vereinigung höchstens abzählbar vieler paarweise disjunkter offener nichtleerer Intervalle \( J_{n, k}^{\varepsilon} \) dargestellt werden kann (dabei läuft der Index \( k \) entweder in \( \{1, \ldots, N\} \) mit \( N \in \mathbb{N}_{0} \) oder in ganz N).
a) Seien \( \varepsilon>0 \) und \( n \in \) N. Zeigen Sie für die \( J_{n, k}^{\varepsilon} \) die Abschätzung
\( \sum \limits_{k} \lambda_{1}\left(J_{n, k}^{\varepsilon}\right) \leqslant 2 n \)
b) Geben Sie für jedes \( J_{n, k}^{\varepsilon} \) ein Intervall \( B_{n, k}^{\varepsilon} \in \mathcal{I}_{1} \) der Länge
\( \lambda_{1}\left(B_{n, k}^{\varepsilon}\right)=\frac{2 \varepsilon}{n 2^{n}} \lambda_{1}\left(J_{n, k}^{\varepsilon}\right) \)
mit \( f\left(J_{n, k}^{\varepsilon}\right) \subset B_{n, k}^{\varepsilon} \) an. Tipp: Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
c) Zeigen Sie, dass das Bild \( f(E) \subset \mathbb{R} \) eine Lebesgue-Nullmenge ist.
