Zeigen Sie mittels der Definition (also nur mit epsilon und delta), dass die folgenden Funktionen f: C -> C stetig sind:

Question

(a) f(z) = 7z

(b) f(z) = z²

(c) f(z) = Ι z + 2i Ι

Ich verstehe das mit dem ε - δ-Kriterium nicht. Kann mir daher bitte jemand von euch erklären was zu tun ist und mir vorerst nur Ansätze geben?

:)

Answer 1

z.B. für Fall 1:     f(z) = 7z
Du musst zeigen:  f ist stetig bei jedem zo aus C.
Du fängst an mit :    Sei eps >0
und musst nun zeigen:  Es gibt ein delta > 0 mit der Eigenschaft:
   | z - z0 | < delta hat zur Folge  | f(z) - f(zo) | < eps

Dazu schaust du dir an, was zu zeigen ist:  nämlich   | f(z) - f(zo) | < eps
also für diese Funktion      | 7z  -  7z0 | < eps
jetzt versuchst du das so umzuformen, dass du irgendwie auf   | z - z0 | kommst.
Hier ist das einfach             | f(z) - f(zo) | < eps
                                                   | 7z  -  7z0 | < eps
                                                       | 7(z  - z0) | < eps
                                                    7  | (z  - z0) | < eps
und jetzt du schon, wenn du durch 7 teilst, steht   | z - z0 | alleine da
                                                      | z - z0 |   <  eps/7

Dann hast du es ja, weil alles Äquivalenzumformungen waren, kannst du sagen
wenn        | z - z0 |   <  eps/7    dann gilt     | f(z) - f(zo) | < eps
also muss man für delta = eps / 7 wählen und dann hat man ein delta, das
die gewünschte Eigenschaft hat.     q.e.d.

                                                 

Comments

Danke für deine schnelle Hilfe.

Ich habe jetzt mal (b) versucht und bin so weit:

f(z)=z^2 -> │z^2 - z0^2│< delta (=d)

│(z-z0) * (z+z0)│ < d *│z+z0│ < d*(│z│+│z0│) durch abschätzen des letzten faktors (also für │z-z0│<d

=> │z│<d+│z0│) komme ich auf d*(│z│+│z0│) < d*(d+2│z0│) < eps

= d^2 + 2│z0│d < eps

jetzt komme ich nicht mehr weiter. Wie kann ich das denn nach delta umformen???

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Stimmt das so für c)?

(c) f(z) = Ι z + 2i Ι

Delta= Epsilon   Dann gilt für jedes z∈ℂ mit | z - z₀ | < Delta

| f(z) - f(z_o) | =|z+2i-z₀-2i | = |z-z₀ | <Delta = Epsilon

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c) stimmt wohl, bei b) vielleicht so

f(z)=z² -> │z² - z0²│< delta (=d)  hier muss doch eps hin

│(z-z0) * (z+z0)│ < d *│z+z0│ < d*(│z│+│z0│)

durch abschätzen des letzten faktors würde ich eher   (│z│+│z0│) < 2*│z0|

weil  delta<|zo| angenommen werden kann

=>      │z² - z0²│  < d *   2*│z0| damit das < eps wird muss

man d = eps / (2*│z0|) wählen, bzw. wegen oben  d = min ( eps / (2*│z0|) ,  │z0|)