Untersuche die Abbildungen auf Surjektivität: Bsp: f:R^2-->R, f(x,y)=x+y

Question

f:R^2-->R, f(x,y)=x+y

 

Surjektivität:

(r,s)=(x+y,0)=> r=x+y und s=0

=> x=r -y  und s=0

=>(x,y)= (r-y,0)

Ist die Abb jetzt surjektiv?

 

f:R^2->R^2 ,f(x,y)= (3x -13,7x + 12y)

Surjektivität:

(r,s)=(3x -13,7x +12y)=> r=3x -13 und s=7x+12y

=>x=1/3 r-13/3   und   s=7x+12y

                       => s=7(1/3r -13/3)+12y

                      =>y= 1/12s -7/36r + 91/36

=>(x,y)=1/3r -13/3 +1/12s -7/36r +91/36= 5/36r +1/12s -65/36

Ist die Abb. surjektiv????

Answer 1

f:R²-->R, f(x,y)=x+y

 Wertebereich ist nur R nicht R^2

Daher darfst du nicht mit (r,s) starten. Nur mit r = x+y

Nun kann man zB. x=0 wählen und y im ganzen Definitionsbereich R variieren lassen, so ist ersichtlich, dass alle Werte von R erreicht werden. Also: surjektiv.

Deine Rechnung ist also falsch, aber du brauchst sie gar nicht.

Surjektivität:

(r,s)=(x+y,0)=> r=x+y und s=0

=> x=r -y  und s=0

=>(x,y)= (r-y,0)

Ist die Abb jetzt surjektiv?

 

f:R²->R² ,f(x,y)= (3x -13,7x + 12y)

Surjektivität:

(r,s)=(3x -13,7x +12y)=> r=3x -13 und s=7x+12y

=>x=1/3 r-13/3   und   s=7x+12y

                       => s=7(1/3r -13/3)+12y

                      =>y= 1/12s -7/36r + 91/36

=>(x,y)=(1/3r -13/3 , 1/12s -7/36r +91/36)

Ist die Abb. surjektiv????

Ja. Jeder Punkt (r,s) von R^2 hat ein Urbild (x,y) und wird deshalb als Bild mindestens einmal erreicht.