Mengen mit Verknüpfungen auf Richtigkeit überprüfen im Vektorraum, wie?

Question

Betrachten Sie die folgenden Mengen mit den Verknüpfungen „+“ und „·“ wie in den

vorherigen Aufgaben.

Untersuchen Sie die folgenden Aussagen auf ihre Richtigkeit und begründen Sie Ihre

Antworten kurz.

a) A = {f : ℝ → ℝ | f hat nur endlich viele Nullstellen} ist ein ℝ-Vektorraum.

b) B = {f : ℝ → ℝ | f(x) ∈ Q ∀x ∈ ℝ} ist ein ℝ-Vektorraum.

c) C = {f : ℝ → ℝ | f(x) ∈ Q ∀x ∈ ℝ} ist ein ℚ-Vektorraum.

d) D = {f : ℝ → ℝ | f(x) · x = 1 ∀x ∈ ℝ}

ist ein Untervektorraum von Abb.(ℝ, ℝ) als ℝ-Vektorraum.

e) E = {f : ℝ→ ℝ| x 6 y ⇒ f(x) 6 f(y)} ist ein ℝ-Vektorraum.

f) F_c = {f : ℝ → ℝ | f(1) = c} mit c ∈ ℝ ist ein ℝ-Vektorraum.

Hinweis: Sie müssen bei keiner Teilaufgabe alle Vektorraum-Axiome, aber gegebenenfalls

die Untervektorraum-Axiome, nachrechnen.

Wie zeigt man sowas oder welche Begründungen brauche ich.. Ich weiss nicht weiter!

!!

Answer 1

a) A = {f : ℝ → ℝ | f hat nur endlich viele Nullstellen} ist ein ℝ-Vektorraum

z.B. muss bei f und g aus A  auch  f+g aus A und für caus R  auch c*f aus A sein.

wenn f,g aus A dann hat die Summe von f und g möglicherweise unendlich viele 0-Stellen,
weil wenn z.B. f unendlich viele 1-Stellen und g unendlich viel -1 Stellen hat,
dann hat f+g unendlich wieviele Nullstellen.
also A kein Vektorraum

b) B = {f : ℝ → ℝ | f(x) ∈ Q ∀x ∈ ℝ} ist ein ℝ-Vektorraum.
hier klappt es

alle f(x) aus Q und alle g(x) aus Q dann auch die Summe, weil Q ein Körper,

aber alle f(x) aus Q und c irrational, dann c*f(x) nicht in Q

Deshalb doch kein VR.

bei c) klappt beides, da ja jetzt das c auch aus Q ist.


etc.