Wie beschreibe ich die Tangente an den Graphen f?

Question

Gegeben f(x) = -1/4x^3 +3/4x^2+5/2x

c) Bestimmen sie die Gleichung der Tangente an den Graphen f an der Stelle x0= 2

t(x) = 0,25 x+ a beschreiben sie die Tangente  an den Graphen von f im Punkt P

Berechnen sie a und P

ich weiß nicht wie ich vorgehen soll

Ich ab die 1,2 und 3 Ableitung die Nullstellen (-2,0,5)

Den Höhepunkt (3,08|7,5102)

Den Tierpunkt (-1,08|-1,5102)

yt= mx^2+b

Ich weiß nicht wie ich das machen soll

Answer 1

Gegeben f(x) = -1/4x³ +3/4x²+5/2x

c) Bestimmen sie die Gleichung der Tangente an den Graphen f
an der Stelle x0= 2

Tangente
f ( x ) = t ( x )
f ´( x ) = t ´ ( x )

f ´( x ) = -3/4 * x^2 + 6/4 *x + 5/2
f ´( 2 ) = -3/4 * 2^2 + 6/4 * 2 + 5/2 = -3 + 3 + 5/2 = 2.5
Die Steigung der Tangente im Punkt x = 2 ist 2.5
f ( 2 ) = -2 + 3 + 5 = 6
Berührpunkt ( 2  | 6 )
Die Tangente liegt auf diesem Berührpunkt
t ( 2 ) = 2.5 * 2 + b = 6
b = 1
t ( x ) = 2.5 * x + 1


t(x) = 0,25 x+ a beschreiben sie die Tangente  an den
Graphen von f im Punkt P. Berechnen sie a und P.

f ´( x ) = 0.25
f ´( x ) = -3/4 * x^2 + 6/4 *x + 5/2 = 0.25
-3/4 * x^2 + 6/4 *x + 5/2 = 0.25  | pq-Formel oder quad.Erg.

Es gbt 2 Lösungen
x = -1
x = 3

Ich nehme einmal x = 3
f ( 3 ) = 7.5
Berührpunkt  P ( 3 | 7.5 )
t ( 3 ) = 0,25 * 3 + a = 7.5
a = 6.75
t ( x ) = 0.25 * x + 6,75

Kann für x = -1 auch durchgeführt  werden.

mfg Georg

Answer 2

eine Tangente ist eíne Gerade der Form mx+b. Darin ist m die Steigung und b der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Eine Tangente heißt so, weil sie die eigentliche Funktion nur berührt, d.h. sie haben genau einen Punkt gemeinsam.

Eine Tangente hat weiterhin in diesem Berührpunkt die gleiche Steigung wie die eigentliche Funktion.

Wenn Du diese drei Sachen verstanden hast, kannst Du mit der Lösung anfangen:

Die tangente nenne ich mal g(x). Dann gilt: g(x)=mx+b und du musst m und b bestimmen.

m ist die Steigung. diese ist genauso groß wie die der Funktion f(x) im Punkt x0=2. es gilt also m = f'(2). Damit ist m bestimmt.

Ferner wissen wir, dass die Tangente den Punkt x0 mit der Funktion gemeinsam hat. wir Bestimmen zunächst die y-Komponente (y0) von x0, also f(2) (einetzen von 2 in die Funktionsgleichung). Da jetzt beide Komponenten des Berührpunktes bekannt sind, können wri damit das b in der Tangentengleichung ermitteln:

wir setzen y0=m*x0+b also f(2)=f'(2)*x0 + b  und stellen das nach b um. danach kannst du g(x) =mx+b vollständig angeben.