Zwischenwertsatz/Stetigkeit

Question

hat jemand vielleicht eine Idee?

Die durchschnittliche Temperatur am Erdäquator ist 25°C, und man kann davon ausgehen, dass diese Temperatur an mindestens einer Stelle des Äquators angenommen wird. Es existieren aber auch Stellen mit deutlich höheren und niedrigeren Temperaturen. Zeigen Sie, dass am Erdäquator mindestens zwei Punkte mit der gleichen Temperatur gibt.

Hinweis: Verwenden Sie, dass die Funktion $$T:\; \left[ 0,2\pi  \right]\; \; --->\; \; R,\; \; x-->\; \; T\left( x \right)$$, die die Temperatur an den Längengraden abbilden, stetig ist.

Answer 1

wenn die mittlere Temperatur 25° ist, bedeutet das, dass Temperaturen höher und niedriger als 25° gemessen worden sind, denn sonst wäre die mittlere Temperatur \( < 25° \) oder \( > 25 ° \).

Aus der Tatsache, dass der Temperaturverlauf stetig sein soll, folgt über den Mittelwertsatz für stetige Funktionen sofort, dass auch 25° angenommen werden muss.

Comments

Erstmal danke für deine Antwort. Kannst du es bitte konkreter erklären oder anhand eines Beispiels?

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Der Zwischenwertsatz sagt ja aus, dass eine stetige Funktion auf dem Intervall \( [a,b] \) alle Werte zwischen \( f(a) \) und \( f(b) \) annimmt. In Deinem Beispiel muss es Zeitpunkte geben, wo für den Temperaturverlauf \( T(t_0) < 25° \) und \( T(t_1) > 25° \) gilt. D.h. \( 25° \in [T(t_0), T(t_1)]\). Wenn man jetzt den Zwischenwertsatz anwendet, besagt dieser ja, dass der Temperaturverlauf alle Werte zwischen \( T(t_0) \) und \( T(t_1) \) annimmt da er ja nach Voraussetzung stetig ist, aslo insbesondere auch den Wert \( 25° \)

Das es diese Zeitpunkte \( t_0 \) und \( t_1 \) geben muss, sieht man daran, dass der Durchschnitt der Temperaturen \( 25° \) beträgt. Die Durchschnittstemperatur berechnet sich nach der Formel \( \overline{T}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^nT_k \) wenn \( n \) die Anzahl der Messungen und \( T_k \) die Temperaturmessungen zum Zeitpunkt \(t_k \) darstellen.

Würde z.B gelten \( T_k > 25° \) für alle \( k \), dann gilt auch \( \overline{T}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^nT_k > \frac{1}{n} n\cdot 25° =25° \) was ein Widerspruch zur Voraussetzung \( \overline{T}=25°  \) ist. Also muss es Messungen \(  T_k \) geben mit \( T_k \le 25° \) Genauso sieht man, dass es Messungen  \(  T_k \) geben muss mit  \( T_k \ge 25° \)

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Sie vorige Antwort ist unvollständig. Zu zeigen ist, dass es mindestens 2 Orte am Äquator gibt, die 25° haben. Der Temperaturverlauf ist dabei eine Funktion des Ortes (nicht der Zeit). Das Urbildintervall ist [0,2pi]. der Äquator wird also als Kreisförmig oder Elipse angenommen. Das ist wichtig, denn damit ist festgelegt, dass die Temperatur an den Intervallgrenzen identisch ist. Stell Dir vor du startest mit der Temp. Messung in Afrika und läufst immer nach Osten. Wenn Du einmal um den Globus herum bist, misst Du den letzten Wert des Temperaturverlaufs wieder in Afrika, deinem Ausgangsort.

In der vorigen Antwort wurde nun gezeigt, dass der Mittelwert auf jeden Fall einmal aufgrund des Zwischenwertsatzes angenommen werden muss. Die Tatsache, dass die Temperatur an den Intervallgrenzen identisch sein muss, führt nun dazu, das dieser Mittelwert auch noch ein zweites mal an einem anderen Ort durchlaufen werden muss.

Stell Dir vielleicht den Verlauf der Temperaturkurve Sinus-artig (die Werte an den Intervallgrenzen sind gleich) vor. Der Mittelwert, ist dann eine Konstante, also eine Waagerechte Linie. Wegen des Zwischenwertsatzes muss diese die Sinus-Kurve mindestens einmal schneiden, was dann aber auch direkt mindestens einen weiteren Schnittpunkt nach sich zieht.

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ja da hast Du Recht, ich habe das zeitlich betrachtet aber man muss es räumlich betrachten, so wie Du es gemacht hast, danke.