Nebenbedingung u = s + s + a = 120
Zielfunktion F = 1/2 * a * √(s^2 - (a/2)^2) benutzt Pythagoras
Nebenbedingung nach s auflösen.
s = 60 - a/2
Daher
F(a) = 1/2 * a * √((60- a/2)^2 - (a/2)^2 )
Nun Term unter der Wurzel so weit wie möglich vereinfachen. Dann f(a) nach a ableiten und 'sinnvolle' Nullstelle der Ableitung bestimmen.
Tipp: Statt F(a) zu maximieren kannst du auch (F(a))^2 maximieren, da sparst du dir die Wurzel.
F(a) = 1/2 * a * √(3600 - 60a + (a/2)^2 - (a/2)^2 )
= 1/2 * a * √(3600 - 60a)
(F(a))^2 = 1/4 * a^2 (3600 - 60a) = a^2 ( 900 - 15a) = 900 a^2 - 15 a^3
((F(a))^2) ' = 1800 a - 45 a^2 = 45a ( 40 - a)
Nullstellen: a1 = 0 und a2 = 40
Aus geometrischen Gründen ist bei a= 0 die Fläche minimal und bei a= 40 die Fläche maximal.
Es folgt a = 40m sowie s = 120m - 80m = 40m.
