Für reelle Zahlen \( a \) und \( b \) sei
\( (a \equiv b): \Longleftrightarrow \quad(a-b \in \mathbb{Z}) \)
definiert. Zeigen Sie, dass \( \equiv \) eine Äquivalenzrelation auf \( \mathbb{R} \), definiert, d.h., zeigen Sie, dass \( \equiv \) für alle \( x, y, z \) die folgenden Axiome erfullt:
(i) \( \equiv \) ist transitiv, d.h., aus \( x \equiv y \) und \( y \equiv z \) folgt \( x \equiv z \)
(ii) \( \equiv \) ist reflexiv, d.h., \( x \equiv x \)
(iii) \( \equiv \) ist symmetrisch, d.h., \( x \equiv y \).
Zeigen Sie ferner
(iv) Falls \( a \equiv b \), so gilt für jede ganze Zahl \( k \) auch \( k a \equiv k b \),
(v) Falls \( a_{1} \equiv b_{1} \) und \( a_{2} \equiv b_{2} \), so ist auch \( \left(a_{1}+a_{2}\right) \equiv\left(b_{1}+b_{2}\right) \).
