Konvergenz der Reihe untersuchen (mit negativen reellen Zahlen): an:=-1/n für n gerade und an:= 1/n^2 für n ungerade.

Question

Vielleicht könnt ihr mir helfen. Ich komme bei meinen Übungsaufgaben nämlich nicht weiter.

DAs wäre die Aufgabe :
Untersuchen Sie, ob die Reihe ∑∞_n=1 a_n konvergiert, wobei a_n =-1/n wenn n gerade ist und a_n= 1/n² für ungerade n.

Answer 1

Betrachte das Gegenbeispiel hier https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium#Gegenbeispiel

Das ist relevant, da |an| nicht monoton fallend ist.

Fasse jeweils 2 aufeinanderfolgende Summanden so zusammen.

ck: = a_2k-1  +  a_2k   = - 1/(2k-1) + 1/(2k)^2 = (-(2k)^2 + (2k -1))/(2k(2k-1))

= - (4k^2 - 2k + 1) /((2k)^2(2k-1))

Da unten der Grad nur 1 grösser ist als oben divergiert die Summe der ck.

Wenn das so nicht formal genug: Vergleiche  mit einem geeigneten reellen Vielfachen der harmonischen Reihe.