Erzeugendensystem: Bestimmen Sie das Erzeugnis von E. Welche Dimension hat der Vektorraum?

Question

Aufgabe:

(a) Wir betrachten das Erzeugendensystem

\( E=\left\{\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 2 \\ -6 \\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 0 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -4 \\ 0 \\ 8 \end{array}\right]\right\} \)

(i) Bestimmen Sie das Erzeugnis von \( E \).

(ii) Geben Sie eine Basis \( B \) für den von \( E \) erzeugten Untervektorraum an.

(iii) Ergänzen Sie Ihre Basis \( B \) aus Teil (ii) zu einer Basis des \( \mathbb{R}^{3} \). Weisen Sie nach, dass es sich bei Ihrer Basis tatsächlich um eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) handelt.

(b) Die Vektoren \( x_{1} \) und \( x_{2} \) spannen ein Parallelogramm auf (vgl. Skizze).

(i) Welche Dimension hat der Vektorraum \( V \) mit dem Erzeugendensystem

\( E=\left\{x_{1}+2 x_{2},-x_{2}-\frac{1}{2} x_{1}\right\} ? \)

(ii) Geben Sie eine Basis für \( V \) an.

(iii) Sind \( x_{1} \) und \( x_{2} \) Vektoren von \( V \)?

Answer 1

zu a)

Am besten machst du erst (ii). Das Erzeugnis ist ja der von .. erzeugte U.

Da nimmst du von deinen vier Vektoren x1 x2 x3 x4 eine Linearkombination

a*x1 + b*x2 + c*x3 + d*x4 = Nullvektor

und dann das Gleichungssytsem auf Stufenform bringen.

Das musst du tun, um zu prüfen, ob die 4 lin. unabh. sind.

Und du sollst ja eine Basis finden, deshalb musst du das tun und wirst sehen:

Es gibt Lösungen für abcd wenn gilt a-2b+4d=0   und b+0,5c + d =0          (*)

also sind die V'en lin.abh und bilden keine Basis.

die beiden Gl'en (*)     sind erfüllt z.B. für a=6 und b=1 und d=-1

Dann gibt dein Ansatz dir

6*x1   +  1* x2    - x4 = 0

bzw 6*x1   +  1* x2    = x4

Also kann x4 durch x1 und x2 erzeugt werden, wird demnach für eine Basis nicht

gebraucht.

Ebenso gilt (*) auch für a=1 und b=0,5  und c=-1

also   x1  +  o,5* x2    -1* x3 = 0

     oder x1  +  o,5* x2    = x3

Also kann x3 auch durch x1 und x2 erzeugt werden, wird demnach für eine Basis nicht

gebraucht.

Damit kannst du alles was mit x1 bis x4 erzeugt wird, auch durch x1 x2 alleine erzeugen,

und diese beiden sind lin. unabh. also bilden sie die gesuchte

Basis.

Damit beantwortet sich auch die Eingangsfrage: Der von x1 bis x4 erzeugte

Unterraum sind die Linearkombinationen von x1 und x2.

zu b)

Auf dem Bild siehst du: x1 und x2 sind nicht parallel also lin. unabh.
x1 + 2x2   =             -2(- x2 -0,5x1)   also ist x1 + 2x2  ein Vielfaches von - x2 -0,5x1
deshalb kann alles was mit E erzeugt wird, auch mit nur dem ersten Vektor von E erzeugt werden
und dieser ist nicht ull, alo lin. unabh bildet also allein eine Basis von V.

weder x1 noch x2 sind in V, denn sie sind ja keine Vielfachen von x1 + 2x2

zu a)  an der Stufenform der Matrix siehst du:

a*v1+b*v2+c*v3+d*v4=0

wenn a-2b+4d=0 und 2b + c +2d = 0  ist diese Gleichung richtig.

Also ist z.B. für a=4 und b=0  und c=2 bund   d=-1

d.h. 4v1 + 2v3 = v4  (kannst du auch direkt nachrechnen.

Also wird der 4. beim Erzeugnis nicht neues hervorbringen und kann fehlen.

außerdem stimmt es für a=1 und b=0,5 und c = -1 und d=0

also 1v1 + o,5v2 = v3

v3 lässt sich also durch v1 und v2 erzeugen, kann also auch weggelassen werden

kurz: Das Erzeugnis von v1 und v2 ist E., also alle, die sich in der

Form a*v1+b*v2 schreiben lassen

Diese beiden sind lin. unabh. also bilden sie eine Basis von E.

und für eine Bais von IR^3 nimmst du noch (0;0;1) dazu.

Answer 2

E = [x + 2·y, -y - 1/2·x] = [x + 2·y, - 1/2·(x + 2·y)] = [z, - 1/2·z] mit z = x + 2·y

Vielleicht siehst du so, dass das System nur eindimensional ist.

x und y sind selber keine Vektoren des aufgespannten Raumes, weil sie ein Parallelogramm bilden.

Answer 3

Schau Dir die Vektoren x1 und x2 mal genau an. im Erzeugendensystem werden ja die beiden addiert. stellst du zweiten Vektor ein wenig um, stellst Du folgendes fest:

-x₂-0,5x₁ =-0,5(2x₂+x₁)

das bedeutet die Vektoren im EZS sind linear abhängig. Folglich ist die Dimension 1. eine Basis ist einer der beiden EZS vektoren und weil x1 eine linearkombination von x2 ist oder umgekehrt, der jeweils andere Vektor jedoch Basis ist müssen beide Vektoren im aufgespannten Raum enthalten sein...

Comments

vergiss meine Antwort zu c. es geht ja um x1 und x2 und nicht um die Vektoren im EZS, sorry