Überprüfen ob die Relation symmetrisch, antisymmetrisch, reflexiv und transitiv ist. Bsp. a = b+1.

Question

Betrachten Sie jeweils die Menge M mit der Relation und entschieden Sie, ob die Relation reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv ist.

\( M=\mathcal{P}(\mathbb{Z}) ; X \sim Y \) genau dann, wenn \( 1 \in X \cap Y \)
\( M=\mathbb{R} ; a \sim b \) genau dann, wenn \( -1 \leq a-b \leq 1 \)
\( M=\mathbb{Z} ; a \sim b \) genau dann, wenn \( a=b+1 \)

 Voraussetzung:M=P(Z);x ~ y <=>1 ∈x∩y
Behauptung: ~ ist reflexiv, symmetrisch,antisymmetrisch oder transitiv
-reflexiv :
x~x   y~y -> reflexiv
-symmetrisch:
x~y   y~x -> ~ ist symmetrisch
-antisymmetrisch:
1∈x ∧1∈y -> x=y ->antisymm
-transitiv:
1∈x∩y
1∈y∩c
1∈x∩c -> transitiv
IIch hab das Thema überhaupt nicht verstanden. Ich hab mal den ersten Teil gemacht und bin mir überhaupt nicht sicher, ob das so stimmt. b und c hab ich gar nicht gemacht, da ich den ganzen Ausdruck nicht versteh. Kann mir  jemand helfen?
\ Y . (b) M = R ; a b genau dann, wenn

Answer 1

Voraussetzung:M=P(Z);x ~ y <=>1 ∈x∩y 
Behauptung: ~ ist reflexiv, symmetrisch,antisymmetrisch oder transitiv 
-reflexiv : 
x~x   y~y -> reflexiv 

nein! Mein Gegenbeispiel für x:  {2,3} n {2,3} enthält 1 nicht.
-symmetrisch: 
x~y   y~x -> ~ ist symmetrisch 

mE. ok.
-antisymmetrisch: 
1∈x ∧1∈y -> x=y ->antisymm (ist das die genaue Def. von antisymmetrisch?)

mE. Nein. Mein Gegenbeispiel {1,2,3} n {1,4} = {1} aber {1,2,3} ≠ {1,4}

-transitiv: 
1∈x∩y 
1∈y∩c 
1∈x∩c -> transitiv 

mE. ok.

Answer 2

zu a) hast du ja schon den Kommentar.
zu b)
a ~ b genau dann wenn -1 <= a-b <= 1
musst du für reflexiv erst mal prüfen:
steht jedes El. mit sich selbst in der Relation, gilt also für jedes a aus IR
a ~ a.  Dem ist so, da  a ~ a  ja bedeutet    -1 <= a-a <= 1 und Null liegt zwischen -1 und 1.

symmetrisch heißt wenn a~b gilt, dann auch b~a.
auch das stimmt, denn wenn a-b zwischen -1 und 1 liegt, dann auch b-a

und antisymm. heißt das ???   aus a ~ b und b~a folgt a=b ?
dann wäre es falsch, denn   1~1,5 und 1,5 ~ 1 aber 1 ungleich1,5

transitiv das wäre a~b und b~c hätte zur Folge a~c
stimmt aber nicht, denn es ist 1 ~ 1,9 ( da die Differenz zwischen -1 und 1 liegt und
auch  1,9 ~ 2,8 aber es ist NICHT   1 ~ 2,8, da ist die Differenz zu groß.

bei c) musst du wioeder alles durchprüfen
jeder mit sich selbst in Relation ? nein  a=a+1 stimmt nicht für alle a aus Z.
symm:  a ~ b heißt a = b+1    z.B. 2 ~1   dann aber nicht  1 ~ 2, denn das hieße 1 = 2+1  (f)

etc.

Comments

Danke für die antworten, ich kann alles nach vollziehen bis auf bei b) die zahlen 1,9 und 2,8 . Wie kommst du auf die zahlen?

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um zu zeigen, dass es nicht trans. ist, muss

man ja Paare (a,b) und (b.c) finden, die in der Relation sind

aber a,c nicht.   Durch die Ungleichung   -1 <= a-b <= 1

hab ich mit vorgestellt: Aha, Abstand der Zahlen kleiner als 1

und hab dann gedacht abstand(a,b) < 1 und abstand(b,c) < 1

heißt noch lange nicht abstand a,c kleiner 1.

wie das Gegenbesipiel ziegt.

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okay, alles klar. Habe das Prinzip verstanden.