Funktionen auf die Eigenschaften Surjektivität, Injektivität, Bijektivität prüfen. Bsp. f1: x -> |x|.

Question

ich habe jetzt schon mehrere Stunden im Internet und auch im Buch gelesen, jedoch immer noch nicht verstanden wie das gehen soll?

3. Die folgenden Funktionen sind auf die Eigenschaften Surjektivitat, Injektivitat, Bijektivitat,
Monotonie, Beschränktheit und Umkehrbarkeit zu prüfen:

\( \begin{aligned} f_{1}:[-1,1] & \rightarrow[0,1] \\ x & \rightarrow|x| \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} f_{2}: &[0,2 \pi] \rightarrow[0,1] \\ x & \rightarrow|\sin x| \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} f_{3}: &(-\infty, 0] \rightarrow[0, \infty) \\ x & \rightarrow \quad x^{2} \end{aligned} \)

Answer 1

also die obere Zeile definiert dir Original- und Bildmenge, die untere Zeile gibt die Abbildungsvorschrift.

injektiv: Kein Wert der Bildmenge wird mehrfach angenommen.

surjektiv: alle Elemente der Bildmenge werden getroffen

bijektiv: injektiv+surjektiv

Umkehrung: wenn bijektiv

Beschränktheit: wegen Zwischenwertsatz (Intervall wird auf Intervall abgebildet) sind Abbildungen auf geschlossene Intervalle beschränkt.

Monotonie: prüfe ob für a<b auch f(a)<f(b) gilt (streng monoton) oder a<b auch f(a)<=f(b) (monoton)

zu f1: nicht injektiv (-1 und 1 bilden zB beide auf 1 ab), surjektiv (alle Werte zwischen 0 und eins werden getroffen)

nicht bijektiv, keine Umkehrung, Beschränkt (geschlossenes Intervall), nicht Monoton (-1<-0,5 aber f(-1)=1>f(-0,5)=0,5

zu f2: nicht injektiv, surjektiv, nicht bijektiv, keine Umkehrung, beschränkt, keine Monotonie

zu f3: mit den gegebenen Intervallen: injektiv, surjektiv, bijektiv, umkehrung vorhanden, nach oben nicht beschränkt, streng monoton fallend

Ich hoffe das hilft in der kürze...

Comments

Super, danke.

Habs jetzt einigermaßen verstanden mit den Lösungen und nochmaligen Internet "lesen" :)