Wie berechnet man das maximale volumen eines kegels mit zylinder, in abhängigkeit von der oberfläche?

Question

 gegeben ist ist O die oberfläche und, dass die seitenkannte des kegels dreimal so lang ist wie der zylinder hoch ist. gesucht werden h, die höhe des zylinders, und r, der radius von dem zylinder und dem kegel.außerdem soll der zylinder oben offen sein.

Answer 1

die Oberfläche berechnet sich nach der Formel

$$  (1) \quad O=rs\pi+2r\pi h=5r\pi h $$

weil ja \( s=3h \) ist.

Das Volumen berechnet sich nach

$$ (2) \quad V=\frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{s^2-r^2}+r^2\pi h=\frac{1}{3}\pi r^2\sqrt{9h^2-r^2}+r^2\pi h  $$

\( s \) ist die Seitenkante des Kegels.

Aus (1) kann man nach \(h \) auflösen und das Ergebnis in (2) einsetzten. Dann hat man das Volumen in Abhängigkeit von \( r \) bei gegebener Oberfläche \( O \). Nun das Volumen nach \( r \) ableiten und \( 0 \) setzen und das nach \( r \) auflösen, ergibt den Radius in Abhängigkeit der Oberfläche. Das wieder in (1) eingesetzt ergibt die Höhe in Abhängigkeit der Oberfläche.