Ableitung als grenzwert

Question

F(x) = x^3 + x^2 Wie muss ich das rechnen Ich komm nicht damit klar .. Berechnen sie die Ableitung als Grenzwert der sekantensteigung ? Kann mir vielleicht jemand erklären wie ich anfangen muss? Oder ieine Seite zeigen?

Answer 1

Wähle \(x_0\in{\cal D}\) fest. Die Sekantensteigung lautet$$m=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{(x^3+x^2)-(x_0^3+x_0^2)}{x-x_0}=\frac{(x^3-x_0^3)+(x^2-x_0^2)}{x-x_0}\\\quad=\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}+\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=(x^2+x\cdot x_0+x_0^2)+(x+x_0).$$Bilde nun den Grenzwert für \(x\to x_0\) und erhalte$$f'(x_0)=(x_0^2+x_0\cdot x_0+x_0^2)+(x_0+x_0)=3x_0^2+2x_0.$$

Comments

ä wir ma hen das iwas mit h Methode oder so?

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Dann lautet der Ansatz$$m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=\frac{\big((x_0+h)^3+(x_0+h)^2\big)-\big(x_0^3+x_0^2\big)}{h}.$$Nun die Potenzen ausmultiplizieren, \(h\) kürzen und den Grenzwert für \(h\to0\) bilden.