Der Kreis (Kreis und Gerade). Von Q(12/-1) aus Tangenten an k legen. k:(x+3)^2 +(y-4)^2 =125

Question

Vom Punkt Q aus werden die Tangenten t₁ und t₂ an den Kreis k gelegt.

Ermittle 1) die Berührpunkte P₁ und P₂ von t₁ und t₂ mit k,
2) Gleichungen von t₁ und t₂,

3) das Winkelmaß von t₁ und t₂,
4) den Flächeninhalt des Dreiecks QP₁P₂   ,
5) die Seitenlängen

Gegeben: Q=(12/-1), k:(x+3)² +(y-4)² =125

bitte mit Rechenschritten

danke

Answer 1

Ich mache mal eine Skizze, bevor ich mich an die Rechnung mache:

Comments

Die Tangenten können beschrieben werden durch die Funktion

y = a * (x - 12) - 1 = a·x - 12·a - 1

Die Kreisfunktion hat die Gleichung

(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 125

Jetzt könnte ich hier für y ja mal meine Tangentengleichung einsetzen.

(x + 3)^2 + ((a·x - 12·a - 1) - 4)^2 = 125
(x + 3)^2 + (a·x - 12·a - 5)^2 = 125
(x^2 + 6·x + 9) + (a^2·x^2 - 24·a^2·x - 10·a·x + 144·a^2 + 120·a + 25) = 125
a^2·x^2 + x^2 - 24·a^2·x - 10·a·x + 6·x + 144·a^2 + 120·a - 91 = 0

Ich sortiere das mal nach x

x^2·(a^2 + 1) - x·(24·a^2 + 10·a - 6) + (144·a^2 + 120·a - 91) = 0

Wenn wir das nach x lösen, darf es nur eine Lösung geben. Damit muß die Diskreminante Null sein.

Die Diskreminante für ax^2 + bx + c = 0 wäre b^2 - 4ac also hier

(24·a^2 + 10·a - 6)^2 - 4*(a^2 + 1)*(144·a^2 + 120·a - 91) = 0
- 400·a^2 - 600·a + 400 = 0
a^2 + 1.5·a - 1

Die Lösung für a ist hier

a = 1/2 oder a = -2

Damit lauten die Tangenten

y = 1/2 * (x - 12) - 1 = 1/2*x - 7
y = -2 * (x - 12) - 1 = -2x + 23

Ich denke der Rest dürfte jetzt für dich ein Klacks sein. Wenn nicht frag einfach nochmal nach.

Aber Anhand der Skizze dürftest Du das jetzt auch alles nachvollziehen können.

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Es tut mir wirklich leid aber können sie es mir weiter zeigen und am Schluss wie lautet 1) P1 und P2 2) t1 und t2 3) WinkelMaß von t1 und t2 Nummer 4 und 5 auch bitte Vielen Dank

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können sie es mir weiter zeigen danke

mit rechenschritte danke

Answer 2

 

Die Gleichunge der Tangenten sind gemäss Mathecoach:

t₁ : y = 1/2 * (x - 12) - 1 = 1/2*x - 7
t₂ : y = -2 * (x - 12) - 1 = -2x + 23

Gegeben: Q=(12/-1),

3) das Winkelmaß von t₁ und t₂, 

Ich nehme an, dass hiermit der Schnittwinkel gemeint ist. Man betrachtet dafür die Steigungen der Tangenten. 
m₁ = 1/2 und m₂ = -2
Nun weisst man, dass bei m₁ * m₂ = - 1, der Schnittwinkel der beiden Geraden 90° ist.

4) den Flächeninhalt des Dreiecks QP₁P₂   , 

Wegen 3) ist QP₁P₂   ein rechtwinkliges Dreieck. Aus Symmetriegründen ist es gleichschenklig. Also ein halbes Quadrat. Ich berechne den einen Berührungspunkt P₁. und dann die Strecke P₁Q. Danach die Fläche als 1/2 mal die Strecke P₁Q im Quadrat. Darum wird hier automatisch auch die Teilfrage 5 beantwortet.
Q(12|-1)
k:(x+3)² +(y-4)² =125
Tangentengleichungen einsetzen
k:(x+3)² +(1/2 x - 7 - 4)² =125

x^2+ 6x + 9 + (1/2 x - 11)^2 = 125

x^2 + 6x + 9 + 1/4 x^2 - 11x + 121 = 125

5/4 x^2 + 5x + 130 = 125

5/4 x^2 + 5x + 5 = 0      |:5

1/4 x^2 + x  + 1 = 0      |*4

x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 = 0. ---> x_1,2 = -2, y_1,2 = 1/2*(-2) - 7 = -8. P₁(-2|-8)

Strecke P₁Q = Strecke P₂Q = √((-2-12)^2  + (-8 - (-1))^2 )
                       = √(14^2 + 7^2) = √(4*7^2 + 7^2) = √(5*7^2 ) = 7*√5

Fläche P₁P₂Q = 1/2 * 49 *5 = 122.5

5) die Seitenlängen

Es fehlt nur noch die Seitenlänge P₁P₂ = √2 * 7 * √5 = 7*√10

Grund für Multiplikation mit √2: Man berechnet so die Diagonale eines Quadrates.

 

Answer 3

\(Q=(12|-1),  k:(x+3)^2 +(y-4)^2 =125\)  \(M(3|-4)\)

Mittelpunkt für den Thaleskreis über der Strecke \(MQ\)  → \(M_T(\frac{12-3}{2}|\frac{-1+4}{2})\)→\(M_T(4,5|1,5)\)

Kreis um \(M_T(4,5|1,5)\) mit Radius r:   \(k_T:(x-4,5)^2 +(y-1,5)^2 =r^2\)    \(M(-3|4)\) ∈ \(k_T\)

\(k_T:(-3-4,5)^2 +(4-1,5)^2 =r^2\)      \(k_T: 62,5=r^2\)

\(k_T:(x-4,5)^2 +(y-1,5)^2 =62,5\)

Schnitt von \( k:(x+3)^2 +(y-4)^2 =125\) mit \(k_T:(x-4,5)^2 +(y-1,5)^2 =62,5\) führt zu den beiden Berührpunkten der Tangenten an \(k\)

\(B_1(7|9)\)  und \(B_2(7|9)\)

Nun mit der 2-Punkteformel der Geradengleichung die beiden Tangentengleichungen aufstellen.