Sei f eine 2π-periodische Funktion, zeige dass die Funktion die Fourier-Koeffizienten c_{k}(g)=e^{-ika}c_{k}(f) hat

Question

Aufgabe:

Sei \( f \) eine \( 2 \pi \)-periodische Funktion, zeige dass die Funktion \( g(x)=f(x-a) \) die Fourier-Koeffizienten \( c_{k}(g)=e^{-i k a} c_{k}(f) \) hat.

Bemerkung: Es kann einfachheitshalber angenommen werden, dass die Fourierreihe von \( f \) gegen \( f \) konvergiert, ist aber nicht notwendig.

Ansatz:

Ich kenne die Definition der Fourierreihe als:

\( f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cos (k t)+b_{k} \sin (k t)\right) \)

Wie komme ich auf die genannten Koeffizienten?

Answer 1

Hi,
wenn Du die Fourierreihe wie folgt schreibst
$$  f(t)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}^{} c_k e^{ikt} $$
dann gilt für \( f(t-a) \) folgendes
$$ g(t)=f(t-a)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}^{} c_k e^{ik(t-a)}=\sum_{k\in\mathbb{Z}}^{} c_k e^{ikt}e^{-ika}=\sum_{k\in\mathbb{Z}}^{} c_k(f)e^{-ika} $$
Also gilt
$$ c_k(g)=c_k(f)e^{-ika}  $$

Comments

Aha, diese Schreibweise habe ich noch nicht gekannt,