Was sind Polstellen, Definitionslücken und Asymptoten? f(x)= x^2 / (x-1)

Question

Ich verstehe nicht genau, was Polstellen, Asymptoten und Definitionslücken bei gebrochen-rationalen Funktionen sind. Und worin besteht der Zusammenhang von Polstellen und Definitionslücken?

Ich bräuchte nämlich die Ps, die Dl und die A. von der Funktion f(x)= x² / (x-1)

Answer 1

Ich verstehe nicht genau, was Polstellen, Asymptoten und Definitionslücken bei gebrochen-rationalen Funktionen sind. Und worin besteht der Zusammenhang von Polstellen und Definitionslücken?

Ich bräuchte nämlich die Ps, die Dl und die A. von der Funktion f(x)= x² / x-1

Du schaust, welche Nullstellen Zähler und Nennerpolynom haben.

Die Nullstellen des Nennerpol sind die Definitionslücken

Wenn der Zähler nicht gleichzeitig eine Nullstelle hat sind das auch Polstellen.

bei dir also x=1 deflücle und polstelle

und dann  ist dort immer auch eine senkrechte Asymptote

Ansonsten gibt es noch eine Asymptote für x gegen +-unendlich.

da hier die Funktion gegen null geht, ist die asympt.   y=0.

Comments

f ( x ) = x^2 / ( x - 1 )
soll es bestimmt richtig geklammert heißen

lim x-> ∞ = ∞ vermute ich einmal.

Answer 2

\(f(x)=  \frac{x^2}{x-1} \)

Eine schräge Asymptote liegt vor, weil der Zählergrad größer als der Grad des Nenners ist.

Polynomdivision:

    \( x^2:(x-1)=x+1\) Rest \(1\)

\(- (x^2-x) \)

.........................

             \(x\)

         \(-(x-1)\)

...............................

                       \(1\)

Die Asymptote lautet nun \(y=x+1\)

Comments

ohne Division:

x^2/(x-1)= (x^2-1+1)/(x-1) =  (x^2-1)/(x-1)+ 1/(x-1) = x+1 +1/(x+1)

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Prima, das ist dann auch noch eine Möglichkeit.