Aufgabe - Basis und Erzeugendensystem im VR der Matrizen:
\( V=\left\{A \in \mathbb{R}^{2,2} \mid \text { A Diagonalmatrix }\right\} \)
Gegeben ist die folgende Teilmenge \( M \) von \( V \) :
\( M:=\left|\left[\begin{array}{cc} -2 & 0 \\ 0 & -5 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 10 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc} -5 & 0 \\ 0 & -2 \end{array}\right]\right| \)
Ist \( M \) ein Erzeugendensystem von V?
[ ] Ja, denn \( M \subseteq V \) und es gilt für jede Matrix \( \left[\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & b\end{array}\right] \in V \):
( ... ) \( \left[\begin{array}{cc}-2 & 0 \\ 0 & -5\end{array}\right] + ( ... ) \left[\begin{array}{ll}4 & 0 \\ 0 & 10\end{array}\right] + ( ... ) \left[\begin{array}{cc}-5 & 0 \\ 0 & -2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & b\end{array}\right] \)
[ ] Nein, denn die Matrix \( \begin{pmatrix} ? & ? \\ ? & ? \end{pmatrix} \) ∈ V kann nicht als Linearkombination der Matrizen in M dargestellt werden.
Ansatz:
Die Linearkombination würde so aussehen:
-2a1+4a2-5a3=a
-5a1+10a2-2a3=b
Wie komme ich jetzt weiter sodass ich einen Wert für a1,a2 und a3 bekomme?
