Aufgaben (Modul Stochastische Prozesse)
Aufgabe BI-1:
Es liege der Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega, \mathfrak{A}, P) \) mit Grundraum \( \Omega=[0,2], \sigma-\)-Algebra \( \mathfrak{A} \) aller Borelmengen aus \( [0,2] \) sowie Wahrscheinlichkeitsmaß \( P \) als stetige Gleichverteilung auf dem messbaren Raum \( (\Omega, \mathfrak{A}) \) zugrunde. Zudem sei \( X \) eine Zufallsgröße auf \( (\Omega, \mathfrak{A}, P) \) mit
\( X(w):=\left\{\begin{array}{l} 3, \text { falls } w \in\left[\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right] \\ 0, \text { falls } w \in\left[0, \frac{2}{3}\right) \cup\left(\frac{4}{3}, 2\right] \end{array}\right. \)
sowie \( \mathfrak{A}^{\prime} \) sei die von der Zerlegung
\( A_{1}=\left[0, \frac{1}{3}\right), \quad A_{2}=\left[\frac{1}{3}, 1\right), \quad A_{3}=\left[1, \frac{3}{2}\right), \quad A_{4}=\left[\frac{3}{2}, 2\right] \)
des Grundraumes \( \Omega=[0,2] \) erzeugte \( \sigma \)-Algebra (symbolisch \( \left.\mathfrak{A}^{\prime} = \sigma\left(A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}\right)\right) \).
Berechnen Sie die bedingte Erwartung \( E_{P}\left[X \mid \mathfrak{A}^{\prime}\right] \)
Aufgabe BI-6:
Es sei \( \left(X_{t}\right)_{t \in[0, \infty)} \) ein stochastischer Prozess mit unabhängigen Zuwächsen, wobei \( P\left(\left\{X_{0}=0\right\}\right)=1 \) sowie \( \operatorname{Var}_{P}\left(X_{t}\right) \in(0, \infty) \) für alle \( t \in(0, \infty) \) gelte.
Untersuchen Sie, ob für alle \( n \in \mathbb{N} \) und \( 0 \leq t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n} \) dann (im Allgemeinen) die Zufallsgrößen \( X_{t_{0}}, X_{t_{1}}, \ldots, X_{t_{n}} \) (vollständig) stochastisch unabhängig sind.
