Maximum-Likelihood-Schätzer und Bedingte Erwartung

Question

bei folgender Aufgabe benötige ich Hilfe. Kann jemand helfen:

wir betrachten das statistsiche Modell \((\mathbb{N}^n,2^{\mathbb{N}^n} (\mathbb{P}_N)_{N \in \mathbb{N}})\), wobei \( (\mathbb{P}_N)_{N \in \mathbb{N}}\) die Gleichverteilung auf \(1,...,N\) ist. Sei \(X=(X_1,...,X_n)\) eine Stichprobe für dieses Modell.

a) Zeige, dass \(S(X)=\max(X_1,...,X_n)\) der Maximum-Likelihood Schätzer für die Kenngröße N ist. Ist S für N erwartungstreu?

b) Seien \(N \in \mathbb{N}\) und \(m, k_1,...,k_n \in \{1,...,N\}\) fest. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit \(\mathbb{P}_N[X_1=k_1,...,X_n=k_n|S(X)=m]\). Hängt es von N ab? Ist die Statistik suffizient?

Vielen Dank

Answer 1

Hallo Markus, gegeben ist eine Gleichverteilung P(i) = 1/i für i = 1, 2, 3, …, N.  Wir haben eine Stichprobe X = (X1, …, Xn).  Zu zeigen ist, dass S(X) = max(X1, …, Xn) der ML-Schätzer für N ist.  Mathematisch wasserdicht kann ich das nicht zeigen, aber ich kann es begründen.  Nehmen wir an, die Stichprobe ist (4, 1, 2).  Dann muss ja N >= 4 sein.  P(x1 = 4, x2 = 1, x3 = 2) = (1/N)^3.  Dieses P soll gemäß dem Maximum Likelihood Prinzip *maximal* werden.  Also muss N minimal werden.  Einerseits ist N also >= max(X1, X2, …), andererseits soll N minimal werden.  Daraus folgt N = max(X1, X2, …). 

Comments

S(X) ist erwartungstreu, denn wenn z. B. N = 4 ist, siehe Beispiel oben, dann werden bei einer unendlichen Anzahl von Werten garantiert alle 4 Werte von 1 bis 4 auftreten und insbesondere auch die 4. 

Nehmen wir an, N = 4.  Für den Stichprobenumfang n = 3, siehe Beispiel oben, kann max(x1, x2, x3) z. B. 3 sein, obwohl N = 4 ist.  Für n = unendlich wird max(x1, x2, …) auf jeden Fall 4 sein.