Welchen Wert muss der Parameter a haben wenn der Flächeninhalt 36 ist bei zwei gegebenen Funktionen?

Question

Ich habe ein großes Problem mit Aufgaben dieser Art und wäre über Hilfe ziemlich erfreut.

Ich habe also als Aufgabefür welchen Wert des Parameters a, der Flächeninhalt der Fläche die von den beiden Funktionen f ung g eingeschlossen ist, 36 ergibt. Also A=36

$$ \begin{array} { l } { f ( x ) = x ^ { 2 } - 2 x + 2 } \\ { g ( x ) = a x + 2 } \end{array} $$

Ich habe jetzt zuerst versucht die Schnittpunkte der Graphen zu berechnen um dann mithilfe von Integralen den Flächeninhalt berechnen zu können. Ich glaube das hab ich aber schon falsch gemacht.

Meine Rechnung lautet:

$$ \begin{aligned} x ^ { 2 } - 2 x + 2 = a x + 2 & | - a x | - 2 \\ x ^ { 2 } - 2 x - a x = 0 & \\ x ( x - 2 x - a ) = 0 & \rightarrow x 1 = 0 \\ x - 2 - a = 0 & | + 2 | + a \\ x = 2 + a & \rightarrow x 2 = 2 + a \end{aligned} $$

Ich hab jetzt auch schon versucht ein Integral zu berechnen das hat aber überhaupt nicht geklappt. Mein Ansatz ist:

$$ \int _ { 0 } ^ { 2 + a } f ( x ) d x = \left[ \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + 2 x \right] $$

nur kann ich das jetzt nicht ausrechnen.

Comments

Das Ergebnis des Integral ist 36  die oben genannte Bedingung für a.

Answer 1

Deine Schnittstellenbestimmung ist schonmal richtig (im zweiten Bild hast Du in der 3ten Zeile ein x zu viel ;)).

 

Warum aber willst Du nun nur f(x) integrieren?

In der zweiten Zeile hast Du doch schon die zu integrierende Funktion h(x)=f(x)-g(x).

 

Der Grundgedanke sonst, stimmt aber! Statt nach f(x) zu integrieren, integriere nach h(x) und setze die Grenzen ein. Du wirst ein Polynom dritten Grades erhalten, welches von a abhängig ist.

Löse dieses mittels Polynomdivision -> a=-8.

 

Probiere es selbst. Ich kontrolliere dann gerne ;).