Inverse Laplace Transformation mit komplexen Polstellen

Question

ich habe hier eine Aufgabe der inversen Laplace-Transformation. Mein Problem sind die komplexen Polstellen.

Mit reellen Polstellen, ist das für mich auch kein Problem, nur hier weiß ich echt nicht, wie ich da zur Lösung kommen kann.

Hier mal die Aufgabe:

(s+2)/(s² +2s+5)

Wäre über jede Hilfe dankbar

PS: Ich kann auch eine PBZ mit komplexen Polstellen, aber dennoch komme ich irgendwie nicht zum Ziel.

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Schau mal bei meinem Link zu Wolframalpha

Ich kann damit leider nichts anfangen, aber es sieht imposant aus und man kann da manchmal eine begrenzte Zahl step by step Lösungen ansehen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+laplace+transfomation+of+%28s%2B2%29%2F%28s%5E2+%2B2s%2B5%29

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Ich rechne Dir das kurz aus, dauert noch etwa 20 min.

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Hab noch eine andere, wesentlich schnellere Lösung gefunden, hängt aber davon ab welche Korrespondenztabelle Du verwendest. Die, die ich bei der TU-Dresden gefunden hab, hat die passenden Formeln drin:

 und drin.

Du muss also Deine Gleichung nur noch auf diese Form bringen, das geht eigentlich ganz schnell

Dann nur noch in die Lösungsgleichung im Zeitbereich einsetzen.

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Korrespondenztabelle:

http://www.ias.et.tu-dresden.de/ias/fileadmin/user_upload/sprache/texte/Lehre/SystemtheorieI_II/st12.pdf

S.59 Formeln 12 und 13.

Answer 1

Hallo

für alle t ≥ 0.

Ich hoffe ich konnte Dir damit helfen. Falls die Transformationstabellen nicht ausreichen, dann verwende ich immer den Residuensatz; das klappt eigentlich immer.
Ich konnte allerdings eine Lösung für diese Formel in http://www.harri-deutsch.de/verlag/titel/lutzwend/s_1807.htm finden. (Da kommt das gleiche wie bei meiner Rechnung raus).

Grüße
JR

 

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Ich weiß nicht wie fit Du mit komplexen Zahlen bist, also hier vorsichtshalber noch ein Hinweis: Du musst die Polarform in die kartesische umwandeln, damit Du die Gleichung oben auflösen kannst. Dann fallen alle komplexen Teile raus und man erhält ein relativ übersichtliches Ergebnis. Ich hab das nicht weiter ausgeführt, da das eigentlich nur grundlegende Umformungen sind und es ziemlich aufwendig ist, das im Formeleditor einzugeben. Falls Du aber noch eine weitere Erläuterung brauchst --> Kommentar.

https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Polarform

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Wow, bis heute habe ich noch nie etwas vom Residuensatz gehört, deshalb kann ich damit auch nicht viel anfangen. Aber immer gut zu sehen, dass es doch mehrere  Wege gibt, die ans Ziel führen.

Solch eine Aufgabe kam auch heute in der Klausur dran. Wäre schön gewesen, wenn ich den Residuensatz direkt hätte anwenden können.