Skizzieren Sie die Fläche und berechnen Sie mit dem gegebenen Doppelintegral den Flächeninhalt.

Question

Aufgabe 14 (Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten mit variablen Grenzen):

Skizzieren Sie die Fläche \( \Omega \), deren Flächeninhalt durch

\( \int \limits_{y=0}^{1} \int \limits_{x=1-y}^{\sqrt{1-y^{2}}} 1 d x d y \)

dargestellt wird.

Aufgabe 15 (Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten mit variablen Grenzen):

Berechnen Sie mit Hilfe von Doppelintegralen den Flächeninhalt von \( \Omega \) aus Aufgabe 14 . Verwenden Sie, falls nötig, die Formelsammlung.

Answer 1

Hi Laura,

müsste das nicht sowas sein?

Beachte, dass die Achsen vertauscht sind! Wir haben da einmal eine Gerade und den oberen Teil eines Kreises. Die Fläche dazwischen ist der gesuchte Flächeninhalt (die Schnittpunkte stimmen hier mit den Grenzen an der y-Achse überein).

Integrieren selbst sollte kein Problem darstellen?

Meine Lösung zur Kontrolle: A = 0,285

Grüße

Comments

Bei der Zeichnung hatte ich selbst auch Probleme. Ich konnte es leider auch nicht mit einem Grafikprogramm prüfen, da man soweit ich weiß dort keine Integrale eingeben kann. Ich habe bei der Rechnung nur den ersten Schritt machen können. Danach hört es auf, da ich nicht wusste, wie ich die Wurzel integrieren soll. Ich habe mal den ersten Schritt beigefügt ich denke mal der ist noch richtig :)

\( \int \limits_{y=0}^{1} \int \limits_{x=1-y}^{\sqrt{1-y^{2}}} 1 d x d y \)
\( =\int \limits_{y=0}^{1}\left(x\right)_{1-y}^{\sqrt{1-y^{2}}} d y=\int \limits_{y=0}^{1} \sqrt{1-y^{2}}-1+y ~dy \)

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Du musst eigentlich nur erkennen, welche Kurven die Grenzen darstellen. 1-y ist eine Gerade. Die obere Grenze ist ein Halbkreis. Und das ganze im Intervall 0 bis 1 (was auch den Schnittpunkten mit den Achsen entspricht, also ganz gut passt) ;).

Die Integration ist soweit richtig. Tipp: √(1-y^2) = (1-y^2)^{1/2}

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Habe es versucht, aber denke mal das wäre zu einfach:

\( \int \limits_{y=0}^{1} \sqrt{1-y^{2}}-1+y ~d y=\left[\frac{3}{2} x \sqrt{(1-y)^{3}}-y+\frac{1}{2} y^{2}\right]_{0}^{1} \)

Ich habe sowohl innen als auch außen aufgeleitet. Müsste man doch bei der Kettenregel so machen soweit ich weiß :)

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Nein, das ist leider nicht ganz so einfach.

Substituiere sin(u) = y. Und schau Dir mal nur den ersten Summanden an. Kannst ja Summandenweise integrieren. Damit sollte es klappen ;).

Tipp: cos^2(u) = 1/2*cos(2u) + 1/2

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Ich komme irgendwie auch damit nicht weiter. Das hat wohl etwas mit dem Additionstheorem zu tun.

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Das benötigte Additionstheorem habe ich schon benannt ;).Führe doch mal die subst. Durch....wenn es nicht klappt mache ich das morgen früh. Bin nun im Bett ;). Gn8

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Ist kein Problem der Schlaf ist wichtiger ich werde es noch ein bisschen weiterversuchen :) Gute Nacht :)

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Sodelle,

$$\int \sqrt{1-y^2} dy $$

Subst. sin(u) = y und damit cos(u) du = dy

$$\int \sqrt{1-sin(u)^2} cos(u) du = \int \sqrt{cos(u)^2} cos(u) du = \int cos(u)^2 du$$

Meinen Tipp anwenden:

$$\frac12 \int cos(2u) + 1 du$$

Ab hier überlasse ich es wieder Dir. Nur noch integrieren und resubstituieren ;).

Beachte, dass direkt nach der Subst. der trigonometrische Pythagoras verwendet wurde.

Grüße