Rekursiv definierte Folge: a_0: = c (0<c<1), a_n+1:= 1 -√(1-a_n). Zeige, dass lim (a_n+1 / a_n) = 1/2.

Question

Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \) sei rekursiv durch \( a_{0}=c \) für eine reelle Zahl \( c \) mit \( 0<c<1 \) sowie

\( a_{n+1}=1-\sqrt{1-a_{n}} \quad \text { für } n \in \mathbb{N} \)

gegeben. Zeigen Sie, dass

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \quad \text { und } \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2} \)

gelten.

Answer 1

mit Induktion zeigst du leicht:  alle an>0 und Folge monoton fallend. 
also gibt es Grenzwert g.
Für n gegen unendlich gilt also
g = 1 - √(1-g)
also √(1-g) = 1-g   also 1-g = 0 oder 1-g = 1
da alle an < c ist g<=c < 1 also g ungleich 1 und deshalb g=0

Für Teil 2 setzt du für an+1 die Rekursion ein und
erweiterst
diesen Bruch dann mit  (1+√(1-an))
Dann hast du (3. binomi ! ) im Zähler nur noch an und
kannst das mit an im Nenner kürzen.
bleibt
1/(1+√(1-an))  und wegen Teil 1 hat das den GW 1/2.

Comments

Verstehe den ersten Teil nicht man soll zeigen dass lim an = 0 ist, wieso benutzt du G=1-√(1-g)?

---

mit Induktion zeigst du leicht:  alle an>0 und Folge monoton fallend. 
also gibt es Grenzwert g.
Das musst du natürlich noch ausführen!



Für n gegen unendlich gilt also

wenn du bei der Rekursionsgleichung das n
gegen unendlich gehen lässt, und du weisst, dass es einen
GW gibt (s.o.), dann kannst du sowohl an als auch an+1 durch
den Grenzwert g ersetzen und hast:

g = 1 - √(1-g)


also √(1-g) = 1-g   also 1-g = 0 oder 1-g = 1