Rekursiv definierte Folge: Zeigen Sie, dass 0<a_n<1 für alle n ∈ N gilt.

Question

Aufgabe:

Seien \(a_0 = \frac{1}{2} \) und \(a_{n+1} = (2 − a_n)a_n \), fuer n ≥ 0.
(a) Zeigen Sie, dass 0 < a_n < 1 fur alle n ∈ N gilt.

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die rekursiv definierte Folge$$a_{n+1}=(2-a_n)a_n\quad;\quad a_0=\frac12$$

Wir zeigen die Behauptung \(0<a_n<1\) durch vollständige Induktion. Wegen \(0<a_0=\frac12<1\) ist die Induktionsverankerung klar. Zum Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\) stellen wir den Folgenterm etwas um:$$a_{n+1}=-a_n^2+2a_n=(-a_n^2+2a_n\;\underbrace{-1)+1}_{=0}=-(a_n^2-2a_n+1)+1=1-(a_n-1)^2$$und gehen von der Induktionsvoraussetzung aus:$$0<a_n<1\implies -1<a_n-1<0\implies0<|a_n-1|<1\implies 0<(a_n-1)^2<1$$$$\implies0>-(a_n-1)^2>-1\implies 1>1-(a_n-1)^2>0\implies 1>a_{n+1}>0\quad\checkmark$$

Comments

danke, alles ist klar ausser einer gleichung, wie hast du die gleichung umgeformt ?

\((-a_n^2+2a_n\;\underbrace{-1)+1}_{=0}=-(a_n^2-2a_n+1)^2+1=1-(a_n-1)^2\)?

es ist einfach wenn ich \(1-(a_n-1)^2\)  finde, die ganze Induktion zu schreiben.

aber wie soll ich wissen, wann ich -1+1 schreiben soll ? und warum hast du \(-(a_n^2-2a_n+1)^2\) quadriert? oder geht es immer so bei Folgen, oder gibt es einen regel? ich finde es ist nicht sehr einfach und man soll am zuerst mehrere umformungen versuchen, um eine loesung zu finden..

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Ausgehend von$$a_{n+1}=-a_n^2+2a_n$$habe ich zuerst eine "nahrhafte Null" addiert:$$a_{n+1}=-a_n^2+2a_n\,\underbrace{-1+1}_{=0}$$Dann habe ich die Summanden neu geklammert:$$a_{n+1}=(-a_n^2+2a_n-1)+1$$das Minuszeichen aus der Klammer gezogen:$$a_{n+1}=-(a_n^2-2a_n+1)+1$$um schließlich die 2-te binomische Formel zu bemühen:$$a_{n+1}=-(a_n-1)^2+1$$was dasselbe ist wie:$$a_{n+1}=1-(a_n-1)^2$$

Answer 2

Tipp: Es ist \(a_{n+1}=1-(1-a_n)^2\).

Comments

Hast du einen Tipp, wann man diese Art der Anwendung der binomischen Formel jeweils in Betracht ziehen sollte?

Answer 3

Es gilt sogar \( \frac{1}{2} \le a_n \le 1  \)

Bew. durch vollst. Induktion:

Für n=0 ist es gegeben.

Und es ist \(  a_{n+1}= 2a_n - a_n^2  \)

Wenn  \( \frac{1}{2} \le a_n \le 1  \) für ein n gilt , dann folgt

\( 1 \le 2a_n \le 2  \)   und   \( \frac{1}{4} \le a_n^2  \le 1  \)

Subtrahieren gibt

\( \frac{3}{4} \le 2a_n - a_n^2  \le 1  \)

also \( \frac{3}{4} \le  a_{n+1} \le 1  \), also auch

\( \frac{1}{2} \le a_{n+1} \le 1  \). q.e.d.

Und damit nat. auch \( 0 \le a_{n} \le 1  \) für alle n.

Comments

Deine Schlussfolgerung "Subtrahieren ergibt" sieht so aus, als ob Du 2 Ungleichungsketten gliedweise subtrahierst. Das wäre (allgemein) falsch.