Konvergiert die rekursiv definierte Folge: a_(0):= 3/2, a_(n):= (a_(n-1) - 1)^2?

Question

Ich habe die rekursiv definierte Folge \(a_0=\frac{3}{2}\), \(a_n=(a_{n-1}-1)^2\) für \(n\ge1\) gegeben und muss zeigen, dass sie konvergiert. Hier weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll, die Folge ist nicht mal monoton fallend bzw. monoton steigend.

Danke.

Comments

Betrachte mal: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x+%3D+%28x-1%29%5E2

Answer 1

Skepsis ist eine wichtige Eigenschaft, wenn man sich mit Mathematik beschäftigt. Wenn du der Meinung bist, dass die Folge nicht konvergiert, dann überleg dir doch lieber wie du zeigen kannst, dass sie divergiert.

Gruß

Comments

Es war eine Klausuraufgabe, dann muss sie doch konvergieren. Ich schaffe es leider auch nicht die Folge explizit aufzuschreiben.

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Ist das die Art wie du an Aufgaben rangehst :D?

Die Folge divergiert! Du kannst dir ja mal die graden und ungeraden Folgenglieder ansehen (Stichwort Teilfolgen) und wirst bemerken, dass diese nicht gegen den selben Wert konvergieren.

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Sorry, es handelt sich wohl um einen Fehler in der Aufgabenstellung, denn die Aufgabe lautet zu zeigen, dass die Folge gegen einen (reellen) Grenzwert konvertiert, daher kann sie eigentlich nicht divergieren (wenn die Aufgabenstellung richtig wäre).

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Du solltest dir noch mal die Definition von Konvergenz und Divergenz anschauen.

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Die kann ich auswendig und normalerweise habe ich keine Probleme mit solchen Aufgaben.

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Auswendig können heißt nicht verstehen. Die vorliegende Folge verhält sich ähnlich wie die Folge

$$ a_n = (-1)^n $$

Damit meine ich, dass es 2 Teilfolgen gibt die gegen unterschiedliche Werte konvergieren. Und das bedeutet, dass die Folge divergiert (unbestimmt)!

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Aber sie ist doch positiv für alle n.

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Lesen! "Ähnlich" bedeutet nicht gleich! Das sollte nur ein Beispiel sein, von dem ich ausgegangen bin, dass es dir bekannt sein sollte (ist ein Klassiker).

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Es hat sich geklärt: Der Professor hat die Aufgabe falsch abgeschrieben.Danke trotzdem für die Hilfe.

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Was ein Wunder :O