Für was braucht man den Satz von Verdi (Vieta)? Wie funktioniert er?

Question

Um die nullstellen bei einer quadratischen funktion zu berechnen braucht man die Mitternachtsformel. damit es schneller geht benutzt man den satz von verdi. so hab ichs verstanden. aber kommen da jetzt die nullstellen raus ? wie berechnet man des?

Answer 1

Verdi war ein Musiker. Du meinst aber sicher Vieta ;).

 

Es gilt für die quadratischen Gleichungen der Form x²+px+q=0 folgendes:

p=-(x₁+x₂)

q=x₁x₂

Der Beweis ergibt sich aus einem Koeffizientenvergleich.

Es ist bekannt, dass die Lösung aus Linearfaktoren besteht -> y=(x-x₁)(x-x₂)

Also entspricht y=(x-x₁)(x-x₂)=x²+px+q

Ersteres nun ausmultipliziert ergibt: x²-(x₁+x₂)*x+x₁x₂

Vergleicht man das nun miteinander ergibt sich der farbige Koeffizientenvergleich.

 

Klar? ;)

 

Comments

Noch ein Beispiel zur Anwendung:

 

Hat man x² - 5x + 6 = 0, kann man dank des Satzes von Vieta sinnvoll/gezielt raten.

Nimmt man sich nämlich q=6 als erstes heran, muss nach obiger Aussage q=x₁x₂ gelten.

Vermutete man nun ganzzahlige Nullstellen, kommen dafür also 1,2,3,6 in Frage (und die negativen Gegenzahlen). Mit p lässt sich schnell zeigen, dass nur x₁=2 und x₂=3 in Frage kommen!

 

Grüße