Textaufgabe lineare Gleichung mit 2 Variablen Geometrie

Question

477) Verlängert man jede Seite eines Rechtecks um 2 cm, so nimmt der Flächeninhalt um 64cm² zu. 

Verkürzt man jedoch jede Seite um 2 cm, so verringert sich der Flächeninhalt um 56 cm².

Gib drei mögliche Lösungen für die Seiten des Rechtecks an!

Answer 1

Das Rechteck hat den Flächeninhalt A=a*b.

 

Nun gibt es die beiden Bedingungen:

A+64=(a+2)*b

A-56=(a-2)*b

 

Du hast also drei Variablen aber nur zwei Gleichungen. Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Du sollst nun drei mögliche Lösungen angeben. Dafür wähle zum Beispiel drei verschiedene Flächen: A₁=100cm², A₂=200cm² und A₃=500cm².

 

Es ergibt sich für A₁=100:

100+64=(a+2)*b   ---> 164=(a+2)b

100-56=(a-2)*b   ----->  44=(a-2)b

Löst man beide Gleichungen nach b auf und setzt ein erhält man a=52/12cm und b=30cm.

 

Das gleiche mit A₂   -> a=34/5  b=30

A₃ → a=84/5  b=30

 

Klar?

Comments

Sry, ich hab nur halb gelesen. Es gilt natürlich

ab+64=(a+2)*(b+2)

ab-56=(a-2)*(b-2)

Löst man dieses Gleichungssystem erhält man  a+b=30.

Du kannst also entsprechend die Seiten wählen.

 

a=5 -> b=25

Test: 5*25+64=189 soll sein (5+2)(25+2)=189.

 

Passt also ;)

Answer 2

Hier mal das Gegebene:

I  x*y+64=(x+2)(y+2)

II  x*y-54=(x-2)(y-2)

 

nun kann man beides auf x bringen:

I  x=[(x+2)(y+2)-64]*y

II x=[(x-2)(y-2)+54]*y

 

Und nun beides Gleichstellen:

[(x+2)(y+2)-64]*y=[(x-2)(y-2)+54]*y   ¦ /y --> y≠0

(x+2)(y+2)-64=(x-2)(y-2)+54   ¦+64

(x+2)(y+2)=(x-2)(y-2)+118  ¦Ausklammern

xy+2y+2x+4=xy-2y-2x+4+118   ¦-4

xy+2y+2x=xy-2y-2x+118   ¦ +2y+2x

xy+4y+4x=xy+118     ¦-xy

4y+4x=118

4(x+y)=118  ¦/4

(x+y)=29.5

 

Nun kann man ganz einfach 4 Zahlenpaare definieren, welche 29.5 ergeben. Z.B. diese: x₁=24.5, y₁=5; x₂=10, y₂=19.5 usw.

 

Ich hoffe, ich konnte helfen und du verstehst es jetzt!

Simon

Comments

Ich habe mich irgendwo verrechnet... Es gibt bei der Kontrolle immer 1 Unterschied.

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Das Gleichsetzungsverfahren darf nur dann verwendet werden, wenn die gleichgesetzte Variable alleine auf der entsprechenden Seite steht und nicht mehr auf der anderen Seite zu finden ist ;).

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Du hast  56  mit  54  verwechselt.