Mengen, Folgen und geometrische Reihen. Wahrscheinlichkeit, dass Person nach N Job bekommt.

Question

Consider an unemployed person who is looking for a job. Let N be the random variable “number of months until a successful job offer occurs” with the understan- ding that N = 1 if the a successful offer occurs in the first month. Let λ be the probability that no successful job offer occurs so that the person remains unemploy- ed. Denote by P(N = j) the probability that N = j periods. Thus we have that P(N = 1) = 1 − λ, P(N = 2) = λ(1 − λ), etc.

(i) Compute P(N = j). Lösung: Lambda^{j-1} (1-Lambda)
(ii) What is the mean waiting time? [Hint: If S(x) = Summe xn is the geometric sum,

consider the derivative with respect to x.] Lösung: 1/(1-Lambda)

Ich verstehe nicht wie man bei ii auf 1/(1-Lambda) kommt. Da wird irgendwie mal mit J multipliziert aber ich verstehe nicht warum.

Comments

(i) Compute P(N = j). Lösung: Lambda^j-1 (1-Lambda) 

Sollte bei der Lösung von (i) nicht die -1 im Exponenten stehen?

Da wird irgendwie mal mit J multipliziert.

Schau mal die Definition von Erwartungswert und dann die Formel zu geometrischen Reihen an. Ich denke, das könnte nützlich sein für eine mittlere Wartezeit.

EDIT: Exponent in Klammern gesetzt gemäss deinem Kommentar unten sollte das jetzt stimmen.

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Ja sollte im Exponenten stehen. Hab das J dank Def. von Erwartungswert gefunden :) !!

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ach so nein ich versteh es immer noch nicht. ich komme jetzt auf die Gleichung:

(1-λ) Ε (Summe) j λ ^j-1

aber danach wird irgendwie abgeleitet. kannst du mir vielleicht erklären warum und wie? und was hat das mit der Wartezeit zu tun? Danke schon mal im Voraus!!

Answer 1

"(1-λ) Ε (Summe) j λ ^j-1 " 

ist keine Gleichung, da kein Gleichheitszeichen dabei ist.

Ich nehme mal an, du meinst 

Erwartungswert(N) = (1-λ) Σ j λ ^j-1 " Summe von j = 1 (oder 0?) bis unendlich. und bist inzwischen bei (ii) 

j k^{j-1} = (k^j)'         | ich benutze k statt lambda.

Berechne  Σ k^j  = 1 / (1-k)   - 1  | -1, falls j=0 nicht dabei.

 und leite das nun ab, (-1 fliegt wieder raus)

Σ j k^{j-1} = - 1/(1-k)^2 * (-1) = 1/(k-1)^2

Nun den Faktor vor der Summe wieder einfügen

Erwartungswert(N) = (1-λ) Σ j λ ^{j-1  =}  (1-k) * 1/(1-k)^2 = 1/(1-k)