Beweisen Sie die folgende Aussage zu Binärzahlen

Question

Beweisen Sie die folgende Aussage.

\( (\underbrace{1010 \ldots 10}_{n-\operatorname{mal} "10"})_{2}=\frac{2\left(4^{n}-1\right)}{3} \text { für alle } n \in \mathbb{N} \)

Wenn ich eine Zahl für n einsetze (zum Beispiel 3), dann kommt auf beiden Seiten das gleiche raus (42), d.h ja, dass die Aussage wahr ist, aber wie kann man das allgemein beweisen?

Answer 1

Hi,

Du kannst ja die Binärzahl auch schreiben als $$ \sum_{k=1}^n 2^{2k-1} $$

Den Rest zeigst du dann per Induktion

Gruß