Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x)=a-2^-(1+x) für x=0,1,2 sonst 0

Question

Sehr geehrte Damen und Herren,

ich benötige bei obiger Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable x die nur drei Werte annehmen kann (0,1,2) Ihre Hilfe.

Wahrscheinlichkeitsfunktion: f(x)=a-2^-(1+x) für x=0,1,2 sonst 0

1. wie groß muss a sein, damit es sich um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion handelt?

2. wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für W(x>1)

3. wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für W(1<x<=4)

4. Erwartungswert E(x) berechnen

5. Varianz Var(x) berechnen

für Ihre Hilfe und Darstellung des ausführlichen Rechenweges.

Grüße

Answer 1

Guten Tag Gast ie138!

Zitat:
Wahrscheinlichkeitsfunktion: f(x)=a-2^-(1+x) für x=0,1,2 sonst 0.
1. Wie groß muss a sein, damit es sich um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion handelt?

a muss die Gleichung f(0) + f(1) + f(2) = 1 lösen.

Comments

Sehr geehrter Gast jd134,

Dass f(x)=1 vorliegen muss, damit es sich um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion handelt, ist mir zwar bewusst, ich weiß jedoch nicht wie ich a) a so wählen soll, damit es als Konstante sowohl für 0,1 und 2 gilt und b) wie ich die Funktion rechentechnisch auflösen muss.

Vielleicht können Sie mir hier weiterhelfen.

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Ok, ich werde schrittweise vorgehen.
Ist f so richtig interpretiert?

$$  f\left(x\right)=a-2^{-(1+x)} $$

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Ja, genau so ist es richtig.

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Gut, dann hätte ich
$$  f\left(0\right)+f\left(1\right)+f\left(2\right)=1 $$ $$\Leftrightarrow\quad a-2^{-(1+0)} + a-2^{-(1+1)} + a-2^{-(1+2)} = 1 $$ $$\Leftrightarrow\quad a-\frac { 1 }{ 2^1 } + a-\frac { 1 }{ 2^2 } + a-\frac { 1 }{ 2^3 } = 1 $$ $$\Leftrightarrow\quad 3a-\frac { 7 }{ 8 } = 1 $$ $$\Leftrightarrow\quad 3a = \frac { 1 }{ 8 } $$ $$\Leftrightarrow\quad a = \frac { 1 }{ 24 }. $$

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wow, vielen Dank. Ich hatte a für jedes x einzeln ausgerechnet und mich gefragt, wie ich die Verbindung herstellen soll. Wunderbar, danke!

Können Sie mir auch bei den anderen Aufgaben helfen? Ich bin schier am Verzweifeln.

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Ok, da ist ein vorzeichenfehler drin, die Korrektur hat das System nicht mehr angenommen.
Es ergibt sich a = 5/8.

Hier die beiden letzten Zeilen in korrigierter Fassung:
$$ \Leftrightarrow\quad 3a = \frac { 15 }{ 8 } $$ $$ \Leftrightarrow\quad a = \frac { 5 }{ 8 } $$

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Ich habe es in der Zwischenzeit nachgerechnet, passt. Super, danke.

Wie errechne ich aber nun die Wahrscheinlichkeiten unter 2. & 3.?

Bei 2. würde ich den Wert 2 einsetzen und 0,5, sprich 50% erhalten.

Bei Aufgabe 3 verbleibt als x-Wert 2 und 3. Bei 3 erhalte ich gemäß Wahrscheinlichkeitsfunktion 0, bei einsetzen von 2 wiederum 0,5, sodass ich auch hier 50% als Lösung erhalte.

Kann das stimmen?

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Ja, das habe ich auch. Gut!

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Ist der Rechenweg aber richtig, nur einzusetzen? Muss ich hier nichts integrieren?

Für Aufgabe 4 und 5 liegen mir zwar folgende Formeln vor, nur leider kann ich diese nicht einsetzen:

E(x) = ∑x f(x) [diskret]

Var(x) = ∑x² f(x) - [E(x)]²

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Na ja, es liegt hier ja eine endliche Wahrscheinlichkeitsverteilung vor und die Wahrscheinlichkeiten der drei Elementarereignisse sind bekannt, so dass einfach addiert werden kann.

(Ich muss jetzt weg!)

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Danke für Ihre Hilfe!

Falls Sie mir bei dem Rest noch helfen können, gerne demnächst.