Unendliche Reihe Σ (-(-1/2)^k * (k+2)). Zeigen Sie, dass für jedes n ∈ ℕ die n-te Partialsumme sich darstellen lässt …

Question

Wir betrachten die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)^{k} \cdot(k+2)\right) \)

i) Zeigen Sie, dass für jedes \( n \in \mathbb{N} \) die \( n \)-te Partialsumme sich darstellen lässt als

\( s_{n}=\frac{1}{9}\left(8-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}(3 n+8)\right) \)

ii) Berechnen Sie mithilfe dieser Darstellung den Grenzwert der Reihe.

Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis benutzen, dass \( \left(\frac{n}{2^{n}}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Nullfolge ist.

Niveau: Mathematik für Medieninformatik - Uni

Answer 1

i) hier am besten vollst. Induktion
für n=1 ist die Reihe nur ein Summand  (-(-1/2)^1 *3) = 1,5
und die andere Formel gibt s1=(1/9)*(8-(-1/2)^1 *(3+8)) = (1/9)* (8 +11/2) = (1/9)*(27/2)=1,5 stimmt.

Gelte die Formel für n, dann ist zu zeigen: Sie gilt auch für n+1.
Die Reihe bis n+1 ist aber:
 Reihe bis n            +             (-(-1/2)ⁿ⁺¹ *(n+3) )
Für die Reihe bis n gilt ja die Formel, also
(1/9)*(8-(-1/2)^n *(3n+8) +   (-(-1/2)ⁿ⁺¹ *(n+3) )
=(1/9)*(8-(-1/2)^n *(3n+8) +   (-(-1/2)ⁿ⁺¹ *(n+3)*9/9 )) und jetzt (1/9) ausklammern gibt
=(1/9)* (   (8-(-1/2)^n *(3n+8) +   (-(-1/2)ⁿ⁺¹ *(n+3)*9 ))      )   
=(1/9)* (   (8-(-1/2)^n *(3n+8) +   (-(-1/2)ⁿ⁺¹ *(9n+27))      )   
=(1/9)* (   (8  -(-1/2)ⁿ⁺¹ *(-6n-16) +   (-(-1/2)ⁿ⁺¹ *(9n+27) )     )    jetzt   - (-1/2)ⁿ⁺¹ ausklammern
=(1/9)* (   (8  -(-1/2)ⁿ⁺¹ *(-6n-16 +   9n+27 )     ) 
=(1/9)* (   (8  -(-1/2)ⁿ⁺¹ *(3n+8 )     ) 
Also gilt die Formel auch für n+1.
(ii) Grenzwert von (1/9)*(8-(-1/2)^n *(3n+8) für n gegen unendlich, erst mal umformen:

1/9  * (  8  - (-1/2)^n *(3n)  +   (-1/2)^n*8  )
=1/9  * (  8  - ((-1)^n *3n/ 2^n   +   (-1/2)^n*8  )
=1/9  * (  8  - ((-1)^n *3 * (n/ 2^n)   +   (-1/2)^n*8  )
nun haben (n/ 2^n)    und (-1/2)^n für n gegen unendlich den Grenzwert 0,
also bleibt 8/9 als Grenzwert der Reihe.