die Funktion ist eine Einbettung

Question

!!!


Die Abbildung ε_p:ℤ→ℤ_p ist eine Einbettung. Man fasst damit ℤ als Teilmenge von ℤ_p auf.

Beweis: Sei x ∈ ℤ mit $$\epsilon_p(x)=(\overline{x})_k=0 \text{, d.h } x \equiv 0 \mod{p^{k+1 } \text{ für alle } k \in \mathbb{N}_0}.$$
Die einzige ganze Zahl, die durch beliebig hohe p-Potenzen teilbar ist, ist die Null, also gilt x=0. Somit ist ε_p eine Einbettung.


Könntet ihr mir den Beweis erklären?

Ich habe die Frage auch in math.stackexchange gestellt: http://math.stackexchange.com/questions/1076864/why-is-this-function-an-embedding/1076873?noredirect=1#comment2190902_1076873

Answer 1

Das eps_p soll ja eine Einbettung sein. Dann schau doch mal die
Definition für "Einbettung" nach.  Vermutlich sowas:
e ist eine Einbettung genau dann wenn e ein Homomorphismus ist,
bei dem  e(x)=0 nur gilt für x=0.

Bei dem Beweis wird die Homomorphismuseigenschaft  e(x+y)=e(x)+e(y)
gar nicht erwähnt, bzw. man weiss, dass die Zuordnung der x zu den
Restklassen x_quer mod p eben einer ist.
Also muss nur noch gezeigt werden

eps_p(x)=0   nur für x=0

Und das soll nun geschehen:

Jetzt bräuchte man die genaue Definition von eps_p(x)
denn aus der soll ja wohl folgen, dass dann
x kongruent 0 mod p^k+1 für alle k aus No.

wenn du das hast kann daraus - wie es dort steht -
x=0 gefolgert werden.

Comments

Hi mathef,

der Fragesteller hat ja relativ wenig Informationen gegeben. Da der Beweis kurz ist, wurde bestimmt schon vorher einiges für die Abbildung gezeigt (Vermutung: Abbildung ist ein Ringhomomorphismus). Der Beweis würde in diesem Fall ja nur noch die Injektivität zeigen oder?

Gruß

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genau und Homomorphismus ist injektiv genau dann, wenn

f(x)=0 nur für x=0 gilt.

Leider weiss man nichts über die Def. von eps.