eFunktion v(t) = 8*t*e^{-0,4t} ableiten, Produktregel

Question

ich habe derzeit ein paar Probleme bei folgender Aufgabe:

v(t) = 8*t*e^-0,4t

Bestätigen Sie: v'(t) = 8 * e^-0,4t * (1-0,4t)

Mein Ansatz: 8t * -e^-0,4t + 8 * e^-0,4t

Scheinbar nicht richtig...

Wäre klasse, wenn mir jemand helfen könnte!

Comments

Vgl. auch hier: https://www.mathelounge.de/117860/efunktion-ableiten-mit-kettenregel-von-v-t-0-4t-zu-8-e-0-4t-1-0-4t

Answer 1

Hi, neben der Produktregel wird auch die Kettenregel und die Ableitung der Exponentialfunktion benötigt. Zusammengefasst also dies hier:

$$ f(x) = u(x)\cdot\text{e}^{v(x)} $$

$$ f'(x) = \left(u'(x)+v'(x)\cdot u(x)\right)\cdot\text{e}^{v(x)} $$

Comments

Hmmh.. Und das auf meine Aufgabe angewandt ? :-D

Sorry, blicke da nicht so ganz durch.

Produktregel ist ja: u' * v + u * v'

Ableitung der e-Funktion ist hier (wenn ich mich nicht täusche) -e^-0,4t

Und wenn ich das in die Produktregel so einsetze, komme ich auf mein obiges (aber offensichtlich) falsches Ergebnis 8t * -e^-0,4t + 8 * e^-0,4t

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Du hast die innere Ableitung der e-Funktion falsch bestimmt. Sie müsste \(-0.4\) betragen, Du hast aber offenbar \(-1\), das dürfte der Fehler sein.

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Aaaah... Ich Idiot.. :-D Problem gelöst.

Danke und einen guten Rutsch ins neue Jahr !

Answer 2

v ( t ) = 8 * t * e^-0,4t

Allgemein
( e^term ) ´ = e^term * ( term ´)
( e^{-0.4t} ) ´ = e^{-0.4t} * (-0.4 )

und die Produktregel
( a * b ) ´= a ´ * b + a * b ´

und die Konstantenregel für die 8

v ( t ) = 8 * [ t * e^{-0.4t} ]
v ( t ) = 8 * [ 1 * e^{-0.4t}  + t * e^{-0.4t} * (-0.4 )  ]
v ( t ) = 8 * e^{-0.4t}  ( 1  + ( -0.4 ) * t  )

v ( t ) = 8 * e^{-0.4t}  ( 1  -0.4  * t  )