Zylindrisches Reservoir konstruieren, sodass Materialkosten möglichst klein sind

Question

Ich habe Probleme für die folgende Aufgabe einen Ansatz hinzukriegen:

Ein zylindrisches Reservoir ohne Deckel, das gleiches Fassungsvermögen haben soll, wie ein Zylinder mit dem Grundkreisradius 5m und der Höhe 20m, soll hergestellt werden. Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn 1m² Wandfläche 80 Fr. kostet und 1m² Bodenfläche 40 Fr. und die Kosten möglichst klein sein sollen?

Ich habe mal die Gleichung für die Materialoberfläche aufgestellt in Abhängigkeit von x (Radius):$$O(x)= \pi x^2 + 2\pi x\cdot \frac {500}{x^2}$$Jetzt muss ich ja aber offenbar die Materialkosten minimieren. Wie ich nun diesen Aspekt noch integriere, erschliesst sich mir zurzeit nicht.

Answer 1

Zunächst erstmal das Volumen des ersten Tanks ausrechnen.
Dann allgemeine Volumenformel ansetzen V(r)= ...
Kostenformel erstellen:
K(r)= 40F * Bodenfläche + 80F * Wandfläche
Die Höhe hängt übrigens von r ab, da da Volumen gegeben ist und ist daher als Variable zu setzen. Festwert 500 ist falsch, woher kommt die Zahl ?

Comments

Das Volumen des ersten Tanks beträgt $$500\pi m^3$$

Ich brauche also zwei Funktionen? h ist in Abhängigkeit vom Radius:$$\frac {500}{x^2}$$

Danke für die Hilfe.

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Das ist eine Optimierungsaufgabe und für die setzt man eine Zielfunktion und eine Nebenbedingung an.Also tatsächlich zwei Gleichungen.

Zielfunktion ist die Kostenfunktion. Nebenbedingung die Höhe in Abhängigkeit vom Radius.

Beide zusammenführen und die Ableitung bilden.

Nullstellen der Ableitung suchen.

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Mmh, ich habe, wie ich festgestellt habe, ein bisschen "dumm herumgedacht". :)

Eigentlich ist es nicht so schwer, danke für Deine Hilfe!

Nur kurz noch: In Deiner ersten Antwort schreibst Du, dass man nach dem eruierten Volumen die allgemeine Volumenformel ansetzen soll. Meinst Du da nicht die allgemeine Oberflächenformel?

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Die Oberfläche ist hier nur mittelbar von Belang - es ist ja nach den Kosten gefragt.

Die Kosten und das Volumen sind zusammenzuführen.

Answer 2

V = x^2 * π * h = 25 * π * 20
V = 500 * π

500 * π = x^2 * π * h
h = 500 / x^2

O ( x ) = x^2 * π + 2 * x * π * h
O ( x ) = x^2 * π + 2 * x * π * 500 / x^2
O ( x ) = x^2 * π + 1000 * π  / x

Die Kosten
Bodenfläche * 40  + Wandfläche * 80
Die Kostenfunktion
K ( x ) =  40 * x^2 * π + 80 * 1000 * π  / x
K ( x ) =  40 *  π * ( x^2 + 2000 / x )
1.Ableitung bilden
K ( x ) =  40 *  π * ( 2 * x - 2000 / x^2 )
zu 0 setzen
40 *  π * ( 2 * x - 2000 / x^2 ) = 0
2 * x - 2000 / x^2 = 0
2 * x =  2000 / x^2
x^3 = 1000
x = 10

x^2 * π * h = 500
10^2 * π * h = 500
h = 1.59 m

Das müßte das Grundkonzept zur Berechnung sein.
Bitte überprüfen.

mfg Georg

Comments

Hallo Georg,

besten Dank für Deinen Lösungsweg. Ich habe das jetzt durchgerechnet und verstehe das. Nur beim h bin ich unschlüssig, denn da erhalte ich 5 m.

Nochmals danke und überhaupt allgemein danke, dass Du mir schon so oft geholfen hast!

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ich denke das war bei mir falsch
x² * π * h = 500
sondern
x² * π * h = 500 * π
10² * π * h = 500 * π
h = 5.00 m

ich denke das meinst du ?

Nochmals danke und überhaupt allgemein danke, dass Du mir
schon so oft geholfen hast! 
Gern geschenen. Ich bin bereits Frührentner und habe eh
kaum etwas zu tun.

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Genau, das war es.

Merci pour l'aide (:

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ich weiß ja nicht ob du Mathe machen mußt
oder Mathe machen willst.

Steigerung der mathematischen Fähigkeiten können erreicht
werden durch

http://www.abiturloesung.de/

Hier gibt es Mathe-Abituraufgaben, Videos dazu ( Unterrichtsstunde )
und die schriftlichen Lösungen.

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Es ist wohl eine Mischung aus beidem. :D

Besten Dank für den Link. Werde ich mir gerne anschauen!