Grenzwert mit Grenzwertsätzen bestimmen

Question

Ich soll den Grenzwert bestimmen mit: (1+z/n)^{n} = e^z

Ich verstehe nicht, wie unser Dozent auf den 2. und 3. Schritt kommt:

Lösungen

Es gilt:
\( \begin{aligned} S &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+3}\right)^{n-1} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{3}{n+3}\right)^{n-1} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{3}{n+3}\right)^{n+3-4} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left(1-\frac{3}{n+3}\right)^{n+3}\left(1-\frac{3}{n+3}\right)^{-4}\right)=e^{-3} \end{aligned} \)

Comments

Was ist denn der zweite und der dritte Schritt?
Zunächst wurde \(n=n+3-3\) benutzt, dann \(n-1=n+3-4\).

Answer 1

In der Basis

n / (n + 3)

= (n + 3 - 3) / (n + 3)

= (n + 3) / (n + 3) - 3 / (n + 3)

= 1 - 3 / (n + 3)

und beim Exponenten

n - 1

= n + 3 - 4

Comments

Danke,
Mir war der Gedanke dahinter nicht klar, aber

im Nach hinein addiert man einfach quasi +1-1 (Nullumformung)
damit man das alles auf die form 1+x/n bringen kann
danke :)