Grenzwerte der Folgen mit Grenzwertsätzen

Question

die Aufgabe, die ich meinem Buch gefunden habe kann ich nicht beantworten. Ich habe z.B. bei a) a(n) den gesamten Grenzwert berechnet aber den Rest bekomme ich nicht raus.

Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie zunächst die Grenzwerte der Golgen a(n) und b(n). Danach bestimmen sie die Grenzwerte Summenfolge, Differenzfolge, Produktfolge und Quotientenfolge, sofern dies möglich ist.

a) a(n)=2 - (3/n^2)    b(n)= 1- (3/n)

b) a(n)=3+(1/n)-(2/n^2)   b(n)=2 - (1/n)

Also bei a) a(n) habe ich als „Gesamtgrenzwert“ 2 berechnet. Ich denke dass das richtig sein könnte. Den Rest kann ich mir nicht wirklich erklären. Mir sind auch durchaus die Grenzwertsätze bewusst. Aber ich finde den Ansatz nicht wirklich.

Vielleicht kann mir ja einer von euch helfen. Ich danke im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Die Grenzwertsätze besagen in Umgangssprache, dass der Grenzwert einer Summe, einer Differenz, eines Produktes oder eines Quotienten gleich der Summe, der Differenz, des Produktes oder des Quotienten der Einzelgrenzwerte ist, wenn(!!!) die Einzelgrenzwerte existieren.

zu (a)$$a_n=2-\frac{3}{n^2}\quad\Rightarrow\quad a=2$$$$b_n=1-\frac{3}{n}\quad\Rightarrow\quad b=1$$$$a_n+b_n\to a+b=3$$$$a_n-b_n\to a-b=1$$$$a_n\cdot b_n\to a\cdot b=2$$$$a_n/b_n\to a/b=2$$

zu (b)$$a_n=3+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}\quad\Rightarrow\quad a=3$$$$b_n=2-\frac{1}{n}\quad\Rightarrow\quad b=2$$$$a_n+b_n\to a+b=5$$$$a_n-b_n\to a-b=1$$$$a_n\cdot b_n\to a\cdot b=6$$$$a_n/b_n\to a/b=1,5$$

Answer 2

 Grenzwerte von Summenfolge, Differenzfolge, Produktfolge und Quotientenfolge sind Summe, Differenz, Produkt und Quotient der Grenzwerte (Grenzert für Quotientenfolge nur für Grenzwert von b(n)≠0).