Aloha :)
zu a) Schreibe den Term ein wenig um:$$a_n=\sqrt[n]{\frac{4n+3}{n+1}}=\sqrt[n]{\frac{4n+4-1}{n+1}}=\sqrt[n]{\frac{4n+4}{n+1}-\frac{1}{n+1}}=\sqrt[n]{4-\frac{1}{n+1}}$$Überlege dir die Abschätzung:$$n\ge1\implies n+1\ge2\implies\frac{1}{n+1}\le\frac12\implies-\frac{1}{n+1}\ge-\frac12\implies4-\frac{1}{n+1}\ge\frac72$$Und schmiere \(a_n\) aufs Butterbrot:$$\frac72\le4-\frac{1}{n+1}\le4\implies\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac72}}_{=1}\le\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{4-\frac{1}{n+1}}\le\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{4}}_{=1}\implies \lim\limits_{n\to\infty}a_n=1$$Die Konvergenz der unteren und oberen Grenze entnehmen wir dem Hinweis zur Aufgabenstellung.
zu b) Wieder schreiben wir den Term zuerst ein wenig um:$$b_n=\sqrt{n^2+\frac{1}{5^n}}-n=\frac{\left(\sqrt{n^2+\frac{1}{5^n}}-n\right)\left(\sqrt{n^2+\frac{1}{5^n}}+n\right)}{\left(\sqrt{n^2+\frac{1}{5^n}}+n\right)}=\frac{\left(\sqrt{n^2+\frac{1}{5^n}}\right)^2-n^2}{\left(\sqrt{n^2+\frac{1}{5^n}}+n\right)}$$$$\phantom{b_n}=\frac{n^2+\frac{1}{5^n}-n^2}{\left(\sqrt{n^2+\frac{1}{5^n}}+n\right)}=\frac{1}{5^n\left(\sqrt{n^2+\frac{1}{5^n}}+n\right)}<\frac{1}{5^n}$$Das kommt wieder aufs Butterbrot:$$0<b_n<\frac{1}{5^n}\implies0<\lim\limits_{n\to\infty}b_n<\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{5^n}\right)}_{=0}\implies\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0$$
