Aufgabe:
Zeige das f stetig ist
Problem/Ansatz:
Sei f: (-1,1) -> ℝ gegeben als f(x) = x/(1+x) für x ∈ (-1,1)
Zeigen Sie mithilfe des epsilon delta kriteriums das f stetig ist.
Mein Beweis sieht wie folgt aus:
Sei ε > 0 beliebig und δ = ε(1+xo) für x0 ∈ (-1,1). Sei nun x ∈ (-1,1) beliebig, dann gilt für alle |x-x0| < δ:
|f(x) - f(x0)| = | x/(1+x) - x0/(1+x0)|. Sei o.B.d.A x > x0, dann
| x/(1+x) - x0(1+x0)| < | x/(1+x) - x0/1+x)| = | (x-x0)//(1+x) = |x-x0| / (1+x) < |x-x0| / (1+x0) = δ / (1+x0) = ε(1+xo) / (1+x0) = ε.
Ist das so richtig ? Ich dachte mir das nichts dagegen spricht x > x0 anzunehmen, da die Gleichung für x0 < x ebenso aufgeht und der Fall das x= x0 trivial ist.
Wie immer, danke im voraus !
