Mithilfe des definierenden Kriteriums der Ableitung zeigen dass f'(x) für alle x e R \ {-1}

Question

Aufgabe:

Sei

$$f: \mathbb{R} / (-1)  \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{x-1}{x+1}$$

Zeigen Sie mittels des definierenden Kriteriums der Ableitung, dass

$$f'(x) = \frac{2}{(1+x)^2}$$

für alle

$$x \in \mathbb{R} / (-1)$$

(Sorry wegen den Klammern, bin leider kein Experte in LaTeX. "/ (-1)" sollte "\ {-1}" sein.

Lg About8Genjis ^^)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Wir schreiben die Funktion vor der Berechnung der Ableitung etwas um:$$f(x)=\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+1-2}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}-\frac{2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$$

Damit bilden wir den Differentialquotienten:

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\left(1-\frac{2}{(x+h)+1}\right)-\left(1-\frac{2}{x+1}\right)}{h}=\frac{-\frac{2}{x+h+1}+\frac{2}{x+1}}{h}$$$$\qquad=\frac{-\frac{2(x+1)}{(x+h+1)(x+1)}+\frac{2(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}}{h}=\frac{\frac{-2x-2+2x+2h+2}{(x+h+1)(x+1)}}{h}=\frac{\frac{2h}{(x+h+1)(x+1)}}{h}$$$$\qquad=\frac{2}{(x+h+1)(x+1)}$$Jetzt ist das \(h\) aus dem Nenner gekürzt und wir können den Grenzwert \(h\to0\) bilden:

$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{2}{(x+h+1)(x+1)}=\frac{2}{(x+1)^2}$$