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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir überlegen uns zuerst den Grenzwert von \(\sqrt[n]{n}\).
Dazu betrachten wir mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes:$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^k$$Für \(n\ge2\) können wir aus der Summe die Summanden mit \(k=0\) und \(k=2\) auswählen:$$\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n\ge\binom{n}{0}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^0+\binom{n}{2}\left(\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^2=1+\frac{\cancel n\cdot(n-1)}{\cancel 2}\cdot\frac{\cancel 2}{\cancel n}=n$$Auf beiden Seiten die \(n\)-te Wurzel gezogen liefert:\(\quad1+\sqrt{\frac{2}{n}}\ge\sqrt[n]{n}\).
Aus dem Sandwich-Theorem folgt der gesuchte Grenzwert von \(\sqrt[n]{n}\):$$1\le\sqrt[n]{n}\le1+\sqrt{\frac2n}\implies1\le\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\le\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\sqrt{\frac{2}{n}}\right)=1\;\implies\;\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$$
Damit können wir nun den gesuchten Grenzwert bestimmen:$$1\le a_n=\sqrt[n]{n^6+n^4+2022}\le\sqrt{n^6+n^6+2022n^6}\le\sqrt[n]{2024n^6}$$Für \(n\ge2024\) können wir weiter abschätzen:$$1\le a_n\stackrel{(n\ge2024)}{\le}\sqrt[n]{n^7}=\left(\sqrt[n]{n}\right)^7\stackrel{(n\to\infty)}{\to}1^7=1\quad\implies\quad\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1$$
