Parabel mit f(x) = 1/2 x² + x - 1 hat zwei zueinander senkrechte Tangenten: y = -x-3 und?

Question

ich bin mir sicher jemand kann mir weiterhelfen.

Und zwar heißt meine Aufgabe so:

"Die Parabel P ist der Graph der Funktion f mit f(x) = 1/2 x² + x - 1;

An P werden zwei Tangenten gelegt, die senkrecht zueinander stehen. Eine Tangente hat die Gleichung y = -x -3. Wie heißt die Gleichung der anderen.

Also mein erster Gedanke war, dass man die Steigung von y = -x -3 sofort rauskriegen kann wenn sie senkrecht zueinander steht.

Dann würde die zweite y = 1x + b sein.

Nur wie komme ich jetzt an b?

Muss ich mit der Diskriminante jetzt weitermachen denn die ist ja in diesem Fall 0.

Nur wie gehe ich da vor?

Liebe Grüße

Answer 1

f ( x ) = 1/2 * x^2 + x -1

t1 ( x ) = - x - 3

m ( t2 ) = - 1 / (-1) = 1

In welchem Punkt ist die Steigung von f gleich 1 ?
Dies ist der Berührpunkt der gesuchten Tangente t2 mit f.

f ´( x ) = x + 1
Berührpunkt:
x + 1 = 1
x = 0

Der Berührpunkt liegt auch auf der Tangente t2
f ( 0 ) = 1/2 * 0^2 + 0 -1 = -1
B ( 0  | -1 )
-1 = m ( t2 ) * 0 + b
-1 = 1 * 0 + b
b = -1

t2 ( x ) = 1 * x - 1
t2 ( x ) = x - 1

Answer 2

Parabel mit  f(x) = 1/2 x² + x - 1 hat zwei zueinander senkrechte Tangenten: y = -x-3 und?

Senkrecht zu dieser Tangente stehen Geraden mit der Gleichung

y = x + q

Nun muss y = x+b Tangente an f(x) = 1/2 x^2 + x -1 sein.

Gerade und Kurve haben genau einen gemeinsamen Punkt.

Daher allgemein: Gleichsetzen und Diskriminanten Null setzen.

x+ b = 1/2 x^2 + x - 1

0 = 1/2 x^2 - 1-q

0 = x^2 - 2 - 2q

0 = x^2 + (-2 - 2q)

Diskriminante mit a = 1 , b = 0 und c = (-2-2q)

D = b^2 - 4ac = 0 - 3(-2 - 2q)

------> a = -1

==> y = x -1.

Nachtrag: Diskriminante ist hier eigentlich nicht nötig, da der Summand mit x wegfällt.

x+ b = 1/2 x^2 + x - 1

0 = 1/2 x^2 - 1-q

0 = x^2 - (2 + 2q)        | 3. Binom

0 =(x - (2+2q)) ( x + (2+2q))

x1 = 2 + 2q

x2 = -2 - 2q

Forderung: Beide sind gleich: 2 + 2q = -2 - 2q

4q = -4

q = -1. Wie oben bereits erhalten.

Answer 3

Hi, was möchtest Du denn mit der Diskriminante machen?

Die Parabel ist linksgekrümmt, also gibt es nur eine Stelle, an der die Parabel die Steigung 1 hat... nutze das, es dürfte der schnellste Weg sein, auch wenn es natürlich auch anders geht!

Answer 4

f(x) = 1/2·x^2 + x - 1

f'(x) = x + 1 = 1 --> x = 0

Es ist also die Tangente an der Stelle 0 gefragt.

t(x) = f'(0)·x + f(0) = x - 1

Comments

Heyo,

Wie kommst du auf

f'(x) = x + 1 = 1 ?

Was ist das für eine Rechnung bzw. woher die Gleichung?

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Wir wissen ja das die Tangente die Steigung 1 haben soll. Damit wird eine Stelle des Graphens gesucht, an der die Steigung 1 ist. Daher setzt man die 1. Ableitung gleich 1.

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Entschuldigung für die Frage, aber wie kommst du auf die 1. Ableitung?

Stehe total auf dem Schlauch :(

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Hi, die Funktion \(f(x) = \frac{1}{2}\cdot x^2+x-1\) hat die Ableitung \(f'(x)=x+1\). Diese Ableitung muss gleich 1 gesetzt werden, also \(f'(x)=1\ \Leftrightarrow x+1=1\).

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Hattet ihr Ableitungen noch nicht ? Dann könntest du auch anders vorgehen.

Setze deine Parabel und deine Tangente gleich

1/2·x^2 + x - 1 = x + b

Und frage jetzt nach der Stelle an der es nur eine Lösung gibt. Dann muss die Diskriminante bei der Lösung der quadratischen Gleichung Null werden.

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@Der_Mathecoach:

Gleichgesetz würde sie so heißen:

1/2·x² +(x-x)-1+b=0

Und hier jetzt die Diskriminante 0 setzen?

also heißt sie dann:

0 = b² - 4·a·c

0 = 0² - 4 · 1/2 · (-1+b)

Kann dies sein?