Wie berechnet man Nullstellen mit Parameter? gc: y=x²+4x+c. Tangente an Parabel?

Question

ich habe hier eine Aufgabe, die ich morgen für die Schulaufgabe brauche.

Gegeben ist die Parabelschar gc: y=x²+4x+c

a) Bestimmen Sie c so, dass die Gerade durch die Punkte A(-2:-3) und B (1:3) eine Tangente der Parabel gc ist.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes P der Tangente mit der Parabel.

c) Stellen Sie die Gleichung der Normalen (Senkrechte zur Tangente) im Berührungspunkt P auf. In welchem Punkt schneidet die Normale die Parabel ein zweites Mal?

Noch eine andere Aufgabe:

Für welche werte von a element R/(0) hat folgende Parabelschar keine Nullstellen?

y=ax²-ax+a-3

Noch eine Frage ohne konkrte Aufgabe. Beim Berechnen der Nullstellen muss ich manchmal nach dem parameter auflsen und manchmal nach x. woran erkenne ich das bei der aufgabenstellung



LG

Simon

Comments

Wo kommst du denn nicht weiter?

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Bei allen Aufgaben. Vielleicht hast du gewissen tipps wie ich vorgehen kann

Answer 1

Du musst hier die Theorie der quadratischen Gleichungen so weit verstehen, dass du die Diskriminante berechnen kannst, und weisst, was sie bedeutet für die Anzahl der Lösungen. Vgl. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Diskriminante  

gc: y=x²+4x+c

a) Bestimmen Sie c so, dass die Gerade durch die Punkte A(-2:-3) und B (1:3) eine Tangente der Parabel gc ist.

1. Gleichung der Tangente:

m = (3+3)/(1+2)= 2

y=2x+q

3=2+q

1=q

Tangente hat die Gleichung t: y= 2x+1

2. Tangente und Parabel haben genau einen gemeinsamen Punkt.

 Schnittstelle: x²+4x+c = 2x+1

x^2 + 2x + (c-1) = 0

Diskriminante D=0

D= b^2 - 4ac = 0 = 4 - 4(c-1) 

0= 4 - 4c+ 4

4c = 8

c=2

g2: y=x²+4x+2
t: y= 2x+1

Kontrolle: Graph

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx²%2B4x%2B2%2C+y+%3D+2x%2B1

b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes P der Tangente mit der Parabel.

Das kannst du jetzt bestimmt selbst. Kontrolle B(-1|-1)

c) Stellen Sie die Gleichung der Normalen (Senkrechte zur Tangente) im Berührungspunkt B auf. In welchem Punkt schneidet die Normale die Parabel ein zweites Mal?

Ansatz

y = -1/2 x + q . B einsetzen

-1 = -1/2*(-1) +q

-1 = 1/2 +q

-1.5 = q

Normale hat die Gleichung

y = -1/2 x - 1.5

Nun Schnittpunkte mit der Parabel ausrechnen

x^2 + 4x + 2= -1/2 x - 1.5

x^2 + 4.5x + 3.5 = 0

abc- oder pq-Formel oder faktorisieren

(x+1)(x+3.5)=0

x1= -1, x2= -3.5

Neuer Punkt: P(-3.5| -0.5*(-3.5) - 1.5) = P(-3.5| 0.25)

Kontrolle: https://www.mathelounge.de/79888/wie-berechnet-nullstellen-mit-parameter-tangente-parabel

Answer 2

\(y=x^2+4x+c\)    \(A(-2|-3)\) und \(B (1|3)\)     Geradengleichung \(y=\blue{2}x+1\)

\(y'=2x+4\)

\(\blue{2}=2x+4\)

\(x=\green{-1}\)      \(y=\blue{2}\cdot(-1)+1 =\red{-1}\)  → P \((-1|-1)\)

\(y=x^2+4x+c\)

\(\red{-1}=(\green{-1})^2+4\cdot (\green{-1})+c\)

\(c=2\)

\(y=x^2+4x+2\)

Normale in  P \((-1|-1)\)  Steigung \(m_N=-\frac{1}{\blue{2}}\)

\( \frac{y+1}{x+1}=-\frac{1}{\blue{2}} \)

\(y=-\frac{1}{2}x-1,5\)

Schnitt mit Parabel:

\(x^2+4x+2=-\frac{1}{2}x-1,5\)

\(x^2+\frac{9}{2}x=-\frac{7}{2}\) 

\(x_1=-1\)

 \(x_2=-\frac{7}{2}\)    \(y(x_2)=-\frac{1}{2}(-\frac{7}{2})-\frac{3}{2}=\frac{1}{4}\)