Konvergenz und Grenzwert von der Reihe (-1)^k / k! von k=0 bis unendlich

Question

Reihe von k=0 bis Unendlich: (-1)^k / k!

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k !}=\frac{1}{e} \)

Ansatz/Problem:

Was passiert mit dem Minuszeichen? k! = e?

Answer 1

(-1)^k steht für wechselndes Vorzeichen. Man kann auch cos(k * Pi) schreiben:

(-1)° = 1

(-1)^1 = -1

(-1)² = 1 usw.

Per Iterationsrechner kann man das nachrechnen:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@N@B0]=0;a=exp(-1);@N@Bi+1]=@Bi]+(@Ci]=@P-1,i)/Fak(i));@Ni%3E18@N0@N0@N#   

(LINK endet mit N# und beinhaltet den kompletten Code)

Variable a=exp(-1) = e^{-1} = 1/e zur Kontrolle.

Man kann auch die positiven Glieder getrennt zusammenrechnen:

{sum 1/(2k)!,k=0...inf } = cosh(1)   

und die negativen:

{sum 1/(2k+1)!,k=0...inf} = sinh(1)   

und dann subtrahieren: cosh(1)-sinh(1) = 1/e selbe Ergebnis

Answer 2

Das ist eine Reihe, du musst also die Terme für k=0, k=1 , k=2 , k=3 .... bilden und addieren,
das fängt dann so an:
(-1)^0 / 0!   +    (-1)^1 / 1!   +   (-1)^2 / 2!   +  (-1)^3 / 3!   +  (-1)^4 / 4!  + ......
=   1           +            -1          +          1/2      +     -1/ 6          +       1 / 24   +   .......

Und die Zahlen    1!     2!     3!     4!    sind so definiert
   4! = 1*2*3*4
  3!  =  1*2*3
  2!  =   1*2

Und wenn du die Summe oben immer weiter ausrechnest, kommt e ungefähr 2,7 ) heraus.
Ach ja   1/e   stand ja auch da !

Comments

Da kommt wohl eher 1/e (ungefähr 0,36) raus.