Mit dem gegebenen Tipp hast du:
statt \(exp(z) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \)
jetzt also \(exp(iy) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(iy)^n}{n!} \)
Und jetzt teilst du es in die Summanden mit geraden und ungeraden
Index auf, also
\(exp(iy) = \sum \limits_{k=0}^{\infty} (\frac{(iy)^{2k}}{(2k)!}+\frac{(iy)^{2k+1}}{(2k+1)!}) \)
und dann in 2 Summen
\(exp(iy) = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(iy)^{2k}}{(2k)!} + \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(iy)^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{i^{2k}\cdot y^{2k}}{(2k)!} + \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{i^{2k+1}\cdot y^{2k+1}}{(2k+1)!} \)
Nun ist ja \( i^{2k}= (i^2)^k = (-1)^k \)
und entsprechend \( i^{2k+1}= i\cdot (i^2)^k = i\cdot(-1)^k \)
und damit kannst du fortsetzen
\( = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\cdot y^{2k}}{(2k)!} + \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{i \cdot (-1)^{k}\cdot y^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\cdot y^{2k}}{(2k)!} + i \cdot \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\cdot y^{2k+1}}{(2k+1)!} \)
und das sind ja jetzt genau die Reihen für cos und sin, also ist das
= cos(y) + i * sin(y) .
