(a) Aus der Formel von Euler und de Moivre kann man schließen, dass
$$\cos x = \frac{1}{2} e^{ix} + \frac{1}{2} e ^{-ix}$$
ist. Das jetzt noch mit 3 potenzieren ergibt:
$$f(x)=\cos^3x = \frac{1}{8} e^{3ix} + \frac{3}{8}e^{2ix} e^{-ix} + \frac{3}{8}e^{ix}e^{-2ix}+ \frac{1}{8}e^{-3ix}$$
$$\space = \frac{1}{8} e^{3ix} + \frac{3}{8}e^{ix} + \frac{3}{8}e^{-ix}+ \frac{1}{8}e^{-3ix}$$
(b) und hier unterstelle ich, dass es \(n \in \mathbb{N}_0\) und \(m \in \mathbb{N}\) heißen soll - und nicht umgekehrt. Dann folgt aus der Lösung von (a):
$$f(x)= \left( \frac{1}{8} e^{3ix} + \frac{1}{8}e^{-3ix} \right)+ \left( \frac{3}{8}e^{ix} + \frac{3}{8}e^{-ix} \right)$$
$$\space = \frac{1}{4}\cos(3x) + \frac{3}{4}\cos(x)$$
Gruß Werner
