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P49

Hallo

Ich braüchte hierzu lösung.

Und vorgehensschritte.

Vielen dank



Bild Mathematik

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hat jemand einen Ansatz ;) ?

mein versuch wäre nachdem was ich nachgelernt habe


summe sqrt(n) z^{n}/3^{n} = Summe sqrt(n) (z/n)^{n}


dann für q = sqrt(n) = unendlich

r = 1 /q

einsetzen kommt

 r= 0


x = (x-r, x+y)

x= (q-r; q+r)

x = (unendlich -0; unendich + 0)


ist das richtig?


das wäre mein ansatz

an = (sqrt(n))/3^{n}

(√(n)) / 3^{n} (z - 0)^{n}


Wie komme weiter damit?

hab probleme damit

a) Entwicklungspunkte nach meiner Rechnung (ohne Gewähr!):

f : z_0 = 0

g: z_0 = 7i

h: z_(0) = 2 + 1/2 i

Bei h habe ich den Zähler umgeformt:

(2i z- 4i + 1) ^n

= (2i)^n ( z - 2 + 1/2i)^n

= (2i)^n ( z - 2 - 1/2 i)^n

= (2i)^n (z - (2 + 1/2 i))^n

EDIT: Bitte Schreibregeln wieder einmal durchlesen und dich daran halten: https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Wegen welchen part meinst du schreibregeln?

h(z)=∑n=1∞(2i)nn2(z−(2+i/2))n

Also ist an=(2i)nn2  oder?


dann brauche ich

r=1lim→∞∣an∣n 

oder

r=limn→∞∣an∣∣an+1∣

wie komme ich weiter?

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo immai,

alles, was jetzt kommt, ohne Gewähr.

(a) Zunächst ist eine Potenzreihe allgemein definiert als

$$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z  - z_0)^n$$

wobei \(z_0\) der Entwicklungspunkt ist. Folglich ergeben sich für \(f(z)\), \(g(z)\) und \(h(z)\) die Entwicklungspunkte

f) \(z_0=0\), g) \(z_0=7i\) und h) \(z_0=\frac{4i-1}{2i}=2+\frac{1}{2}i\) (.. siehe auch Lus Kommentar)

Die Konvergenzradien \(\rho\) lassen sich nach dem Quotientenkriterium oder dem Wurzelkriterium bestimmen: Quotienkriterium für \(f\):

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}}{3^n} z^n \quad \Rightarrow a_n=\frac{\sqrt{n}}{3^n} $$$$a = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{\sqrt{n+1}}{3^{n+1}} }{\frac{\sqrt{n}}{3^n} } \right|= \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1}}{3 \sqrt{n}}=\frac{1}{3}$$

Die Betragstriche kann man hier weglassen, da die Terme jeweils positiv und reell sind. Mit \(\rho=\frac{1}{a}\) wird der Konvergenzradius \(\rho=3\). Mit dem Wurzelkriterium geht es wie folgt:

$$a=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=  \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{\sqrt{n}}{3^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} \sqrt[n]{\sqrt{n}}= \frac{1}{3}$$und das ist zum Glück das gleiche Ergebnis.

Bei \(g(z)\) liefert das Wurzelkriterium \(a=0\) bzw. den Konvergenzradius \(\rho=\infty\) und bei \(h(z)\) ist

$$a_n=\frac{(2i)^n}{n^2} \quad \Rightarrow a=\lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(2i)^{n+1}}{(n+1)^2}}{\frac{(2i)^n}{n^2}} \right| =\lim_{n \to \infty} \left| 2i\frac{n^2}{(n+1)^2} \right|=2$$ Daraus folgt \(\rho=\frac{1}{a}=\frac{1}{2}\).


(b) Die Kreise werden skizziert, indem Du in der Gaußschen Zahlenebene um den Entwicklungspunkt einen Kreis mit dem Konvergenzradius ziehst.


(c) In der Skizze habe ich die Konvergenzkreise für \(f(x)\) (blau) und \(h(x)\) (grün), so wie die Punkte \(z=2+i\), \(z_2=2\) und \(z_3=3\) eingezeichnet

Bild Mathematik

Es ist ersichtlich, dass \(f(1+i)\) konvergiert (liegt innerhalb des Kreises) und \(h(1+i)\) konvergiert nicht. \(g(z)\) konvergiert für jedes \(z\), da dort \(\rho=\infty\) ist.


(d) \(z_2=2\) liegt auf dem Konvergenzkreis von \(h(z)\). Dies muss extra untersucht werden.

$$h(2)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(2i\cdot 2 - 4i + 1)^n}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{ 1}{n^2} $$ das ist eine allgemeine harmonische Reihe mit \(\alpha=2>1\) und die konvergiert.


(e) \(z_3=3\) liegt ebenso auf dem Kreis von \(f(z)\). Es ist

$$f(3)=\sum_{n=1}^\infty \sqrt{n} \frac{3^n}{3^n}=\sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}$$ und diese Reihe divergiert. \(f(3)\) ist nicht konvergent.

Gruß Werner

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Vielen Vielen Dank :)


das wird sehr hilfreich werden bestimmt.


werde alles duch gehen jetzt^^

.. gern geschehen. Falls Du noch Fragen hast, musst Du bis morgen warten. ich geh' jetzt schlafen.

wenn es nicht zu viel werden solte^^


könntest du mir morgen noch bei dem hier helfen


https://www.mathelounge.de/446213/konvergenzbereich-komplexen-potenzreihe-komplexe-zahlenebene


ab b also c bis f


auch nur ansätze wären sehr hilfreich ^^

müsste

r= lim abs( an / an+1 ) sein?


du hast ja genau andersrum?

"müsste  r= lim abs( an / an+1 ) sein?

du hast ja genau andersrum?"
Nö - habe ich nicht - wer lesen kann ist klar im Vorteil! ;-) Oben steht:
$$a=\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$$und der Konvergenzradius \(\rho\) ist:
$$\rho=\frac{1}{a}$$

Tut mir leider aber irgwie stehe ich auf dem schlauch :)

An ist doch bei mir im zähler und bei dir im Nenner? ^^


Ist doch andersrum?



Vielen Dank

Hallo immai,

... hatte Deine Frage nicht gesehen.

Aber vielleicht hast Du inzwischen selbst gemerkt, dass ich \(a\) berechne und Du den Konvergenzradius \(\rho\) meinst und es gilt \(\rho=1/a\).

Hi :)

Ja habe ich^^

Ich hatte es spästestens dann gemerkt als keine lösumg kam, und ich generkt habe etwas ist faul ^^


Aber danke nochmals

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