Gleicher Konvergenzradius bei zwei Potenzreihen

Question

Wie zeigt man, dass diese Reihe den gleichen Konvergenzradius hat?

Text erkannt:

(2 P.) Sei \( P(x):=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{k} \) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius \( R>0 \). Zeigen Sie, dass \( \tilde{P}(x):=\sum \limits_{k=1}^{\infty} k \cdot a_{k} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{k-1} \) ebenfalls Konvergenzradius \( R \) hat.

Answer 1

Wenn man die Formel \(  r=\lim\limits_{n \to \infty}  |\frac{a_n}{a_{n+1}}| \) benutzt,

doch wohl so:

\( P(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{k} \) hat Radius R

==>   \(  \lim\limits_{k \to \infty}  |\frac{a_k}{a_{k+1}}|  = R\)

Dann gilt für \( \tilde{P}(x)=\sum \limits_{k=1}^{\infty} k \cdot a_{k} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{k-1} \)

Der Koeffizient von (x-xo)^k ist (k+1)*a_k+1 . Für den Konv.rad. also

\(  \lim\limits_{k \to \infty}  |\frac{(k+1)\cdot a_{k+1}}{(k+2)\cdot a_{k+2}}| = \lim\limits_{k \to \infty}  \frac{k+1}{k+2} \cdot \lim\limits_{k \to \infty}  |\frac{a_{k+1}}{a_{k+2}}| = 1 \cdot R\)

Answer 2

Die Formel über die Quotienten ist nicht immer anwendbar, wohl aber die Formel über die Wurzeln (Satz von Cauchy-Hadamard o.ä.) Hier benutzt man die Information, dass

$$|ka_k|^{1/k}=k^{1/k}|a_k|^{1/k}\text{  und }k^{1/k} \to 1$$

Daher ist

$$\limsup |ka_k|^{1/k}=\limsup |a_k|^{1/k}$$