Hallo,
es gilt:$$\rho :=\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left |\frac{(-1)^k}{4k+1} \right |}=\limsup\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{k(4+1/k)}}=\limsup\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{k}\sqrt[k]{4+1/k}}=1$$ mit Konvergenzradius \(r:=\begin{cases}\frac{1}{\rho}, \text{ falls } \rho \in (0,\infty) \\ \infty, \text{ falls } \rho =0 \\ 0 , \text{ falls } \rho =\infty\end{cases}\), also \(r=1\).
Für diese Rechnung solltest du gezeigt haben, dass \(\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{k}=1\) und \(\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{a}=1\) für \(a\in \mathbb{R}\), \(a>0\).
Du hast also nun ein Konvergenzintervall \(-1<x<1\). Für die Untersuchung an den Randpunkten, pickst du dir einen, z. B. \(x=1\), dann folgt:$$\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{4 k+1} 1^{k}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{4 k+1}=\sum \limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}\frac{1}{4 k+1}$$ Dieser Ausdruck konvergiert, da \(\frac{1}{4 k+1}\) eine monoton fallende, relle Nullfolge ist. (Leibniz-Kriterium) Du darfst \(x=-1\) mal selbst probieren! :)
